2.4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

Хотя случай упруго закрепленной струны может существенно помочь нам понять одномерную теорию рассеяния, в этой задаче есть сильное ограничение, состоящее в том, что плотность упругой восстанавливающей силы, не может быть отрицательной. Однако в квантовой теории для одномерного рассеяния нет соответствующего ограничения, так как потенциал рассеяния может быть либо отталкивающим либо притягивающим Случай вводит возможность появления локализованных возмущений, или связанных состояний.

Основным уравнением в квантовой теории рассеяния является уравнение Шрёдингера. Для одномерных стационарных задач его можно записать в виде [96]

где масса частицы, полная энергия и А — постоянная Планка, деленная на Полагая мы получим стандартное уравнение для описания одномерных волн в неоднородной среде

Как показано в учебниках по квантовой механике, плотность потока, связанная с частицей, дается формулой

это выражение нужно сравнивать выражением для волн на струне (2.1.16).

Задача квантового рассеяния при здесь рассматриваться не будет, так как анализ в этом случае не отличается от соответствующего анализа для струны. В случае кроме решений рассеяния, появятся решения уравнения (2.4.2) в виде локализованных возмущений, или связанных состояний. Простейшим для аналитического рассмотрения случаем является притягивающий потенциал в виде -функции. Полагая и следуя процедуре, изложенной в упр. 4, получим

Запишем теперь решение рассеяния в том виде, который соответствует падающей волне произвольной амплитуды А, т. е.

Полезно заметить, что здесь могут быть ненулевые решения для если и также обращаются в нуль. Из (2.4.4) ясно, что это имеет место при Тогда а это является локализованным решением, или связанным состоянием. Следует отметить, что тогда полюс при к лежит в верхней полуплоскости. Полученное здесь решение можно также получить, полагая и сращивая решения, как в упр. 4.

В качестве несколько более сложного примера рассмотрим притягивающий потенциал в виде прямоугольной ямы. Если взять и использовать для выражение (2.3.8), то отталкивающий потенциал прямоугольной формы эквивалентен случаю упруго закрепленной струны, поэтому рассматривать этот случай нам не нужно. Чтобы проанализировать роль связанных состояний, появляющихся в случае притягивающего потенциала

где подставим сначала в результаты разд. 2.3. Тогда получим выражение которое является действительной величиной для отрицательных значений пока выполняется Соответствующие значения к являются чисто мнимыми,

Допустимые значения к можно получить одним из двух способов. Можно непосредственно перейти к решениям, описывающим связанные состояния для и повторить процедуру

сращивания решений, изложенную в разд. 2.3, или, как показано выше для -потенциала, можно найти точки в верхней полуплоскости для которых знаменатели в выражениях для обращаются в нуль. Первый подход используется в большинстве вводных курсов квантовой механики. Для второго способа нужно просто в выражении для положить Опять же легче всего проанализировать множители в выражении (2.3.14). Полный анализ первого из этих выражений был также выполнен Нуссенцвайгом [911. Кроме некоторого числа связанных состояний (зависящих от значения Ко). снова есть бесконечное число комплексных нулей в нижней полуплоскости плоскости к и так называемых антисвязанных состояний на мнимой оси в нижней полуплоскости.