7.7. УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

Так как атомы распределены по скоростям, есть соответствующее распределение по смещениям частот Если — число атомов в единице объема и распределение по смещениям частот (скоростям) задается функцией то полная поляризация на единицу объема есть

Ломаные скобки используются для обозначения величины, усредненной по распределению Функция часто предполагается гауссовой; пример ее будет рассмотрен в (7.11.9). Член, соответствующий источнику в волновом уравнении (7.5.2), является второй производной этого выражения для поляризации. Пренебрегая медленной зависимостью от времени в функциях огибающих и имеем

Если подставить поле в виде (7.5.3) в уравнение (7.5.2) и пренебречь вторыми производными медленно меняющихся величин а также произведениями вида мы получим, что коэффициенты при членах соответственно удовлетворяют уравнениям

Эти уравнения можно записать в комплексной форме

Уравнения (7.7.3) или (7.7.4) нужно решать совместно с уравнениями для . С использованием определений -эти последние уравнения дают и . Более удобной для некоторых целей процедурой является непосредственное получение уравнений для временной зависимости функций 9 и 9. Дифференцируя (7.6.13) и (7.6.11), получим уравнения

которые часто называют уравнениями Блоха [16]. Следует отметить подобие уравнений Блоха и уравнений Серре — Френе.

Интересен частный случай уравнений (7.7.3) и (7.7.5). Если четная, а нечетная функции то источник

в (7.7.3b) равен нулю. Таким образом, можно рассматривать задачи распространения, где нет изменений фазы. Простейший пример этого случая получится при пренебрежении движением атомов, когда определяющие уравнения могут быть сведены к уравнению sine-Gordon. Сейчас мы рассмотрим этот случай.