2.6. СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ

В предыдущем разделе уравнение Шрёдингера для потенциала решалось с помощью гипергеометрических функций. Некоторые значения произведения ширины потенциальной ямы на длину, привели к безотражательным потенциалам. В этих случаях решение может быть выражено через элементарные функции. Как указано в упр. 9, эти решения могут быть получены при рассмотрении соответствующих предельных форм общего решения. Однако, так как речь пойдет главным образом об этих элементарных случаях, хотелось бы иметь более прямой метод их рассмотрения. Уравнения, появляющиеся в случае безотражательных потенциалов, могут быть очень просто решены методом Дарбу с. 210; [59], с. 132). Кроме получения решений некоторых специфических уравнений, можно использовать этот метод, чтобы вызвать изменения в потенциалах произвольной формы ([27]; [36]; [115]).

Метод Дарбу состоит в исследовании соотношения между уравнениями

где связано с у с помощью линейной комбинации

Исследование становится особенно простым (и адекватным нашим целям), сслм положить функцию ) равной единице. Только этот случай и будет рассматриваться. Если подставить (2.6.3) а

(2.6.2) и приравнять по отдельности нулю коэффициенты при получим

Исключая и интегрируя, находим, что

где X — постоянная интегрирования.

(см. скан)

Уравнение -это уравнение Риккати для и с помощью подстановки его можно сделать линейным (см. разд. 2.12). Тогда уравнение (2.6.6) примет вид

Таким образом, важность у состоит в том, что оно является частным решением уравнения (2.6.1) при

Из (2.6.5) находим, что так что уравнение для принимает вид

Итак, мы получаем уравнение Шрёдингера, в котором потенциал изменился на величину Кроме того, тождество дает

Иногда удобно заметить, что при частное решение уравнения (2.6.9) имеет вид

В заключение, если у есть общее решение уравнения

а — любое частное решение, соответствующее значению то

является общим решением уравнения

или, что эквивалентно, уравнения

В качестве простого примера рассмотрим уравнение (2.6.10) при и Общее решение получившегося уравнения имеет вид В качестве частного решения возьмем так что Так как в этом случае то (2.6.11) или (2.6.12) дают общее решение уравнения

в виде

Уравнение (2.6.14) эквивалентно уравнению (2.5.15) при Решение, полученное в упр. 9, имеет тот же вид, что и полученное здесь решение. Как показывается в следующем примере, метод может быть распространен на большие значения

(см. скан)

Описанный метод дает также процедуру такого изменения потенциала, при котором появляется дополнительное собственное значение (связанное состояние). В качестве конкретного примера отметим, что уравнение

имеет собственных значений. Согласно (2.6.13), если положить то добавление к потенциалу величины увеличит число собственных значений на единицу. В этом случае и уравнение (2.6.13) примет вид

что является формой уравнения (2.6.16) для собственных значений.

Выбранное выше выражение для у можно получить следующим образом. Уравнение с собственными значениями записывается в виде

а уравнение для собственных значений — в виде

где является собственным значением уравнения (2.6.19), но не уравнения (2.6.18). Полагая в мы получим Но уравнение для имеет частное решение Следовательно, как и требовалось, Аналогичные соображения могут быть применены к произвольным потенциалам [115].

(см. скан)

Другой процедурой, также обеспечивающей простой подход к результатам этого раздела, является метод факторизации ([61]; [89]).