4.4. МНОГОСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ

В разд. 3.3 было получено решение уравнения Марченко для безотражательных потенциалов. При применении теории обратной задачи рассеяния к решению уравнения Кортевега — де Фриза, обсуждаемому в этой главе, зависимость от времени входит только параметрически, поэтому мы снова ожидаем, что при начальном условии для уравнения Кортевега — де Фриза, соответствующем безотражательному потенциалу, мы можем получить точные решения. Полученные решения являются многосолитонными. Поэтому мы имеем

где, согласно (4.3.12), Из (3.3.17) решение уравнения Марченко имеет вид

где является -матрицей с элементами

Пример: двухсолитоииое решение

Рассмотрим случай двух полюсов в верхней полуплоскости в точках Тогда

Заметим, что если столбец разделить на строку умножить теперь на тот же множитель, то определитель можно записать в симметричной форме. Такая симметризация может быть проделана для произвольного

Сейчас мы продифференцируем и умножим числитель и знаменатель получившегося выражения на

Положим и

Находим, что

где Более простая форма этого результата имеет вид

Записывая

и используя аналогичные тождества для получим

Так как

можно записать

где

Если найти вторую производную от используя (4.4.7), мы получим

За исключением дополнительных фазовых членов являющихся постоянными интегрирования, которыми мы пренебрегли при интегрировании системы (1.3.24), этот результат совпадает с тем, который был дан формулой (1.3.19).

В разд. 1.3 было показано, что для времен, далеко отстоящих в прошлое от момента взаимодействия двух солитонов, выражение для сводится к виду

где

Для времен, далеко отстоящих в будущее после момента взаимодействия, мы получаем

Положение пика импульса, связанного с смещается, таким обрзаом, вперед на величину из точки в точку Аналогично, более медленный импульс замедляется на величину . С детальным анализом взаимодействия произвольного числа солитонов можно ознакомиться в работе [114].

Двухсолитонное взаимодействие для показано на рис. 1.2. При оба импульса сливаются в одни с амплитудой, равной . (Заметим, что на рисунке изображена функция На рис. 4.4 показано слияние двух солитонов для случая . В этом примере единственный импульс не формируется. Чтобы получить критерий различения двух случаев, заметим, что на рис. в то время как на рис. Выражение для можно

Рис. 4.4. (см. скан) Взаимодействие двух солитонов, при котором одиночный пик не образуется.

получить, используя уравнение Кортевега — де Фриза и формулу (4.4.2). Находим, что

Используя (4.4.10) для получения и замечая, что из (4.4.7) можно получить находим, что

Поэтому два солитона сольются в один пик только

Мы сейчас видели, что эволюция начального профиля импульса чрезвычайно проста, если коэффициент отражения для задачи рассеяния, связанной с обращается в нуль. полюсов коэффициента прохождения приводят к солитонам

с амплитудами Если коэффициент отражения не равев нулю, решение по-прежнему содержит солитон для каждого полюса. Однако, как показано на рис. 4.2, есть и осцилляторная часть. Теперь количественное аналитическое описание решения намного сложнее, и в настоящее время оно является областью активной исследовательской деятельности. Однако, как и прежде, амплитуду и скорость каждого солитона можно легко определить. Амплитуды равны — а скорость как и в случае безотражательных потенциалов. Следовательно, если можно определить коэффициент отражения для то число солитонов и их амплитуды могут быть определены даже при . В качестве примера рассмотрим начальный профиль импульса В разд. 2.5 было показано, что коэффициент прохождения для этого потенциала имеет вид

где

При это выражение принимает вид

Множитель имеет полюсы при Таким образом, полюсы лежат в точках полюса в верхней полуплоскости дают солитоны. Так как амплитуды солитонов равны — в этом случае амплитуды равны — что согласуется с приведенным на рис. 4.2 точным численным решением.