Глава 6. ПРИЛОЖЕНИЯ I

Во многих областях физики солитонные уравнения часто возникают как аппроксимации известных и более точных уравнений. Действительно, этого следует ожидать, поскольку дисперсия и нелинейности, входящие в различные солитонные уравнения, могут считаться первыми членами в разложениях более полных выражений для дисперсии и нелинейности. Как мы уже видели в разд. 1.4, использованные для получения солитонного уравнения методы теории возмущений могут приводить к довольно длинным и утомительным вычислениям. В этой главе содержатся дополнительные примеры, взятые из гидродинамики и физики плазмы, а также классическая модель теории дислокаций в твердом теле. Особое значение придается получению солитонных уравнений из стандартных уравнений, используемых в этих областях физики. Читатель, минимально знакомый с этими вопросами, может не обращаться к дополнительным источникам. В главу не включены примеры солитонов, встречающихся в физике низких температур, квантовой теории поля и других областях, которые требуют более специальных знаний.

6.1. ВОЛНЫ НА МЕЛКОЙ ВОДЕ И УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

Рассмотрим движение плоских волн на поверхности жидкости. Предполагается, что максимальная амплитуда возмущения а мала по сравнению с глубиной а длина возмущения I велика по сравнению с . В последующем изложении метода возмущений малость двух параметров играет фундаментальную роль.

Движение жидкости описывается вектором скорости где единичные векторы горизонтального и вертикального направлений соответственно. Движение жидкости предполагается безвихревым, так что Предполагается также, что плотность жидкости постоянна, так что уравнение неразрывности сводится к уравнению Тогда мы можем положить, что

Предполагается, что снизу жидкость ограничена твердым горизонтальным дном, так что Верхней границей является свободная поверхность как показано на рис. 6.1. Впредь все вычисляемые на этой поверхности члены будут

обозначены индексом 1. На свободной поверхности граничные условия нелинейны, и именно в этом вся сложность задачи. Для свободной поверхности можно записать

Так как получаем первое граничное условие в одной из следующих форм:

Второе граничное условие получается из соотношения импульсов

где постоянная плотность жидкости, давление в произвольной точке жидкости и ускорение силы тяжести.

Рис. 6.1. Переменные, применяемые при анализе волн на мелкой воде, приводящем к уравнению Кортевега — де Фриза.

Так как и в рассматриваемом случае то уравнение (6.1.3) можно записать через дивергенцию выражения Интегрируя и включая произвольную функцию времени в получим

Вычисляя это выражение на верхней поверхности в предположении, что и затем дифференцируя по х, получим второе граничное условие в виде

Таким образом, движение поверхности описывается решением уравнения Лапласа, удовлетворяющим нелинейным граничным условиям (6.1.2) и (6.1.5).

Так как нас интересуют только малые значения попытаемся получить адекватное решение уравнения Лапласа, используя несколько первых членов в разложении

Подставляя это разложение в уравнение Лапласа и разделия члены по степеням у, получим рекуррентное соотношение Граничное условие дает Таким образом, все нечетные степени обращаются в нуль, и мы получаем

Тогда компоненты скорости на свободной поверхности запишутся в виде

где .

Прежде чем приступить к выводу уравнения Кортевега — де Фриза, поучительно рассмотреть линейное волновое уравнение, которое получится, если в граничных условиях (6.1.2) и (6.1.5) пренебречь членами с произведениями. Кроме понимания роли, которую играют два малых параметра это позволит определить дисперсионное соотношение задачи.

Если линеаризовать граничные условия (6.1.2) и (6.1.5), полагая и опуская квадратичные члены, мы получим

Первоначально используем только первые члены в (6.1.8), чтобы выразить через Тогда

Исключая находим, что удовлетворяет линейному волновому уравнению — где Следовательно, в этом простейшем приближении поверхность может быть носителем недиспергирующих синусоидальных смещений где Возвращаясь к находим, что

Таким образом, мы ожидаем, что поверхностные скорости волн с характеристической амплитудой а имеют порядок Аналогично из (6.1.9а) находим, что Мы видим, что для возмущений, у которых доминантные длины волн X имеют величину величина вертикальной скорости имеет порядок Эта информация об относительных величинах полезна для определения процедуры метода возмущений, предназначенной для рассмотрения нелинейных членов.

Прежде чем вернуться к нелинейной задаче, заметим, что сохранение вторых членов в (6.1.8) дает линейные уравнения

из которых можно получить линейное уравнение

Теперь предположение приводит к дисперсионному соотношению со которое содержит кубический по А член, подобный тому, который был получен в (1.4.10) для жидкости, ограниченной системой упругих колец.

Чтобы перейти к нелинейным уравнениям, введем сначала безразмерные независимые переменные, полагая Аналогично, запишем зависимые переменные в виде согласно первому из соотношений (6.1.8), Положим также . С точностью до первого неисчезающего порядка по и безразмерные скорости записываются в виде

Первое и второе граничные условия (6.1.2а) и (6.1.5) принимают вид

Теперь эти уравнения легко решаются методом возмущений, описанным Уиземом (117). Заметим, что если пренебречь то можно записать где Введем в (6.1.15) разложение в ряд по малым параметрам

и сохраним члены до первого порядка по Тогда, если одно уравнение (6.1.15) вычесть из другого и учесть, что с рассматриваемой точностью мы получим

Так как параметры и 6 независимы, коэффициенты при должны по отдельности обращаться в нуль. Тогда мы имеем Теперь, когда выражена через находим, что первое из уравнений (6.1.15) дает

Преобразованием можно исключить член Получившееся уравнение имеет вид уравнения Кортевега — де Фриза. Если умножить его на и затем величину положить равной то получится уравнение где Выразив односолитонное решение (1.4.18) в размерных переменных, находим, что

где

Постоянная с в - это произвольная постоянная, входящая в (1.4.18). В размерных переменных уравнение (6.1.18) принимает вид

Несколько более систематический вывод уравнения Кортевега — де Фриза можно получить, следуя процедуре, которая будет введена в разд. 6.5 ([106], приложение).

Были проделаны эксперименты по поверхностным волнам, подтверждающие солитонную теорию уравнения Кортевега — де Фриза (см., например, [49]). В качестве простого примера применения изложенных выше результатов к экспериментальным волнам на воде заметим, что -солитонное решение, соответствующее (6.1.19), имеет вид где дается формулой Это можно переписать как где Видно, что как только

начальный размер волны задан через ожидаемое число солитонов определится глубиной . Если для то при уменьшении глубины до число солитонов станет равным что следует просто из решения уравнения