2.8. ОБЩИЙ ПОДХОД К ПРОБЛЕМЕ РАССЕЯНИЯ

Для локализованных потенциалов все решения уравнения Шрёдингера

сведутся при х, стремящемся к к линейной комбинации функций Для задачи рассеяния на бесконечном интервале стало обычным (мы следуем в зтом разделе изложению Фаддеева [35],

[36]) выражать все решения уравнения Шрёдингера в виде линейных комбинаций решения (которое при х, стремящемся к сводится к и решения к) (сводящегося при х, стремящемся к т. е.

Эти решения часто называют фундаментальными решениями уравнения Шрёдингера (или функциями Поста).

Фундаментальные решения

Хотя для произвольного потенциала фундаментальные решения не могут быть определены в явном виде, многие из их свойств могут быть установлены при рассмотрении некоторых интегральных уравнений, которым они удовлетворяют. Эти интегральные уравнения можно получить, считая, что член в уравнении (2.8.1) является неоднородным членом в правой части этого уравнения, и затем пользуясь методом вариации параметров. Рассматривая два случая, соответствующие предельным формам (2.8.2), легко находим (упр. 14), что

Если — действительные величины, где звездочка означает комплексно-сопряженную величину. Эти равенства являются следствием того, что функции удовлетворяют одному и тому же интегральному уравнению и имеют один и тот же асимптотический

Если бы нам нужно было решать эти интегральные уравнения методом итераций, например, подставляя в уравнение (2.8.3) вместо функцию мы нашли бы, что для получившиеся интегралы сходятся. Кроме того, известно, что получающееся разложение в ряд для интегральных уравнений типа Вольтерры, подобных уравнениям (2.8.3) и (2.8.4), всегда сходится [81]. Следовательно, является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной плоскости Аналогично находится, что это справедливо и для функции Таким образом, для функции удовлетворяют уравнениям (2.8.3) и (2.8.4) соответственно.

(см. скан)

Соотношение для вронскианов

Определим следующим образом вронскиан двух любых решений уравнения Шрёдингера (2.8.1):

(для удобства в последующем это выражение отличается от обычного определения знаком «минус»). В уравнении Шрёдингера (2.8.1) нет члена с первой производной, поэтому вронскиан двух любых линейно независимых решений является постоянной величиной, которая может зависеть от Так как фундаментальные решения принимают простые предельные формы (2.8 2), легко вычислить некоторые соотношения для вронскианов. В частности, вычисляя при при получим

Так как любое третье решение может быть выражено как линейная комбинация двух линейно независимых решений, можно записать

Из предельных форм фундаментальных решений видно, что (2.8.7а) представляет собой решение уравнения Шрёдингера, которое при сводится к а при — к линейной комбинации . Поэтому это решение соответствует задаче рассеяния, в которой из на рассеивающий потенциал падает волна с амплитудой с. Волна отражается с амплитудой а проходит на с единичной амплитудой, как показано

на рис. 2.4, а. Подобным образом представляет собой решение рассеяния, где падающая волиа приходит из как показано на рис. 2.4, б. (Соотношение между различными решениями аналогично тому, которое уже встречалось в (2.5.10) для гипергеометрических функций.)

Рис. 2.4. Рассеяние волн, падающих) справа; слева.

Для обычно используемых коэффициентов отражения и прохождения в случае падающей волны единичной амплитуды мы имеем

где индекс относится к волне, падающей справа. Аналогично, для падающей слева волны единичной амплитуды мы имеем соотношения

Между коэффициентами есть ряд соотношений, которые будут теперь сведены воедино. Подставляя из в (2.8.7а) и приравнивая коэффициенты при , находим, что для совместности этих уравнений нужно, чтобы выполнялись соотношения

Аналогичная подстановка (2.8.7а) в дает

Далее, подстановка (2.8.6) и (2.8.7) в различные возможные соотношения для вронскиана и использование того факта, что дает

Из последнего из этих соотношений следует, что Чтобы показать, что для действительных имеют место соотношения

можно использовать соотношения для Тогда совместность уравнений (2.8.10) и (2.8.11) дает

что, согласно (2.8.8) и (2.8.9), можно записать в виде

Из (2.8.10) и (2.8.11) получим

Этот последний результат дает полезное соотношение между Наконец, мы имеем и аналогичное соотношение для

(см. скан)

(см. скан)

Полюсы коэффициента прохождения

Мы уже встречались с некоторыми конкретными примерами, в которых для получения информации о локализованных решениях, или решениях, описывающих связанные состояния, использовалось расположение полюсов у коэффициентов отражения и прохождения в верхней полуплоскости. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос в более общем виде. Из (2.8.8) и (2.8.9) ясно, что нас интересуют нули Во-первых, из (2.8.14), которое справедливо только для действительных к, видно, что никогда не может обращаться в нуль, если Таким образом, все нули расположены вне действительной оси. Во-вторых, можно также показать, что для действительных потенциалов все полюсы в верхней полуплоскости должны быть на мнимой оси. Чтобы убедиться в этом, предположим, что один из полюсов лежит в точке и запишем

где у может быть любым из двух фундаментальных решений, а у — комплексно-сопряженная этого решения. Умножая первое из этих уравнений на у, второе — на у, вычитая и интегрируя по всем х, получим

Левая часть обращается в нуль, так как выражение в скобках — это одни из двух вронскианов (2.8.6), и, таким образом, имеет одно и то же значение в обоих пределах. Записывая мы находим, что мнимая часть (2.8.18) равна

Таким образом, так как как отмечалось выше, и интеграл при является конечной положительной величиной.

Наконец, если с обращается в нуль, то линейно зависимы, так как тогда (2.8.7а) и дают

В последующих приложениях нужно будет знать вычет в каждом полюсе для величины Следовательно, мы должны вычислить где является нулем на мнимой оси в верхней полуплоскости. Из последнего из соотношений (2.8.12) имеем

В последнем соотношении вронскианы можно вычислить следующим образом. Из уравнения Шрёдингера можно записать

Умножая первое из этих уравнений на второе — на и вычитая, находим, что

Дифференцируя этот результат и полагая затем , получим

Интегрирование от х до дает

так как вронскиан, вычисленный в верхнем пределе, при обращается в нуль. Аналогичное вычисление показывает, что

и тогда (2.8.21) дает формулу для

Чтобы переписать этот результат в виде

можно использовать уравнение (2.8.20). Таким образом, величины являются нормировочными постоянными для волновых функций связанных состояний соответственно.

Использование соотношения (2.8.20) дает также

Можно воспользоваться этим результатом, чтобы показать, что при действительном потенциале никогда не обращается в нуль. Следовательно, все нули т. е. все полюсы коэффициента прохождения, должны быть простыми. Необращение в нуль следует как из условия нормировки (2.8.2), которое требует, чтобы не обращалось в нуль в нулях так и из выражения (2.8.3), которое показывает, что для действительного потенциала функция действительна в нулях где чисто мнимая величина; таким образом, подынтегральное выражение в (2.8.29) положительно и интеграл не равен нулю.

Так как действительны в нулях с и, то видно, что действительно. Наконец, используя (2.8.7), можно записать нормировочные постоянные в виде

Так как действительны для мнимых то также действительны и положительны.

Как отмечалось в разд. 1.6, мы встретимся с линейными задачами на собственные значения, которые эквивалентны уравнению

Шрёдингера с комплексном потенциалом. В этих случаях полюсы больше не должны быть ни простыми, ни расположенными на мнимой оси.

Для последующих приложений этих результатов полезно иметь выражения для преобразований Фурье коэффициентов отражения и прохождения, введенных формулами (2.8.8) и (2.8.9). Так как при больших коэффициент прохождения стремится к единице, удобно определить преобразование следующим образом:

Как отмечалось ранее, при действительном потенциале аналогично для Поэтому для действительных потенциалов действительны. При интеграл легко вычислить. Если в верхней полуплоскости нет полюсов, то обращается в нуль. Для задач со связанными состояниями, где есть ряд полюсов в верхней полуплоскости на мнимой оси в точках имеем

где выражается формулой (2.8.27), подсчитанной при

(см. скан)

(см. скан)

Соотношение между коэффициентами прохождения и отражения

Коэффициенты прохождения и отражения связаны условием сохранения энергии (2.8.15) и соотношением (2.8.16). Следует выяснить, нельзя ли выразить коэффициент прохождения только через коэффициент отражения. Сейчас мы покажем, что если нам известно положение полюсов и нулей функции в верхней полуплоскости, то коэффициент прохождения можно выразить либо через либо через

Сначала рассмотрим случай, когда у функции в верхней полуплоскости нет ни нулей, ни полюсов. Тогда у логарифма коэффициента прохождения также нет сиигулкрностей в этой полуплоскости, и по теореме Коши

Так как при то в этом пределе Контур С можно выбрать вдоль действительной оси от до и затем замкнуть его в верхней полуплоскости на с помощью дуги полуокружности. От дуги на бесконечности вклада нет, так как при и можно записать

Так как лежит в нижней полуплоскости и поэтому вне контура С, можно записать также

где при написании второго равенства снова можно пренебречь контуром С на бесконечности в верхней полуплоскости. Беря комплексно-сопряженное от этого последнего уравнения, вычитая результат из (2.8.35) и используя (2.8.15), получим

где в качестве может быть взята либо функция либо функция Таким образом, у нас есть рецепт получения из когда нет сингулярностей в верхней полуплоскости. Для вычислений удобно переписать результат в виде

где мы проинтегрировали по частям. Особенно легко вычислить интеграл (2.8.38), когда является отношением полиномов от умноженным на фазовый множитель При получении из формулы (2.8.38) постоянная интегрирования в окончательном результате определяется из требования, чтобы при

Если у подынтегрального выражения (2.8.38) есть полюс первого порядка на действительной оси, то исходный контур в (2.8.34) должен быть отождествлен с полуокружностью в верхней полуплоскости. Тогда интеграл в (2.8.38) понимается в смысле главного значения.

В качестве примера рассмотрим отталкивающий потенциал, выраженный -функцией. По формуле (2.4.4) имеем Тогда уравнение (2.8.38) принимает вид

Требуя, чтобы стремилось к единице для больших мы получим второе выражение для коэффициента прохождения; оно также приводится в формуле (2.4.4). Имеем

Если есть нули или полюсы первого порядка в верхней полуплоскости в точках соответственно, то вычисление,

подобное тому, которое было проделано выше, может быть выполнено для функции

которая теперь обладает свойствами, которые требовались в предыдущих вычислениях от функции Замечая, что для действительных к

мы можем следовать той же процедуре, что и в предыдущих вычислениях, что дает

В качестве примера рассмотрим притягивающий потенциал в виде -функции, для которого . У коэффициента прохождения также есть полюс при Мы, таким образом, полагаем

и затем получаем тот же интеграл, который был получен в (2.8.39), за исключением того, что теперь . Интегрирование дает

Таким образом, и по формуле (2.8.44) мы снова получаем, что где теперь

Асимптотическое решение

Хотя в общем случае решение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами не может быть выражено в квадратурах (т. е. в виде явных интегралов), можно получить асимптотическое решение уравнения Шрёдингера для больших к, выраженное через потенциал и его производные ([111], [20]). Кроме того, что оно является полезной формой решения для больших асимптотическое разложение дает бесконечную последовательность сохраняющихся величин, которые будут играть важную роль при рассмотрении связи теории рассеяния с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Записав фундаментальное решение в виде

можно получить его асимптотическое разложение. Согласно (2.8.2), мы должны потребовать, чтобы Уравнение Шрёдингера (2.8.1) для функции примет вид

оно является уравнением Риккати для А. Это уравнение можно решить, вводя разложение

Можно показать, что ряд является асимптотическим (111] в том смысле, что ([64], гл. 17)

Если (2.8.48) подставить в уравнение Риккати (2.8.47) и приравнять члены с одинаковыми степенями , мы получим

Первые коэффиценты выражаются следующим образом:

Из формулы (2.8.7а) видно, что предельные формы решения имеют вид

Следовательно, при и для имеем

Из (2.8.46) и (2.8.52) получим Так как интегрирование разложения (2.8.48) по всей оси х дает

Теперь, когда к становится большим, так что потенциал в уравнении Шрёдингера становится пренебрежимо малым и вся

энергия волны проходит через рассеиватель. Таким образом, при Соответственно в этом пределе стремится к нулю. Если ввести асимптотическое разложение и сравнить коэффициенты с коэффициентами разложения (2.8.54), то получится

Этот результат окажется очень полезным при использовании этих асимптотических разложений для решения эволюционных уравнений. Рассматривая некоторые стандартные предельные случаи, можно понять значение функций даваемых формулами (2.8.51). Случаю медленного изменения потенциала на длине волны соответствует ВКБ-решение волнового уравнения ([96], разд. 28). Его можно здесь получить, пренебрегая всеми производными в выражениях для и используя приближенные соотношения для

Если потенциал мал, так что и применимо приближение Борна ([96], разд. 26). Его можно здесь получить, сохраняя только члены, линейные относительно функции и и ее производных. Это дает

(см. скан)

Число полюсов в выражении для коэффициента прохождения

В общем случае из рассмотрения функции не видно, каково число полюсов в верхней полуплоскости в выражении для коэффициента прохождения. Полезно иметь метод определения полного числа отыскиваемых полюсов, особенно в тех случаях,

когда полюса находятся численно. Это можно сделать, замечая, что число простых полюсов дается выражением

где точка означает дифференцирование по — контур в верхней полуплоскости, охватывающий все нули Чтобы получить этот результат, заметим сначала, что строится согласно формуле (2.8.12) из фундаментальных решений аналогичных в верхней полуплоскости. Поэтому внутри контура а также нет полюсов. Внутри этого контура вклад в число полюсов могут внести лишь нули Если в качестве контура С пзять действительную ось, замкнув ее на бесконечности в верхней полуплоскости с помощью дуги полуокружности, то вклада от дуги на бесконечности не будет. Это следует из асимптотического вида записываемого как при Таким образом, и интеграл на дуге полуокружности обращается в нуль. Если мы запишем и заметим, что при то можно проинтегрировать (2.8.56) и получить выражение

связывающее число полюсов с полным изменением фазы функции при движении вдоль действительной оси. В квантовой теории рассеяния этот результат известен как теорема Левинсона ([90], разд. 5)

В качестве простого примера вспомним, что для потенциала мы получили в упр. 15, что Фаза дается выражением Когда пробегает значения от до —1, фаза возрастает от до При изменении к от —1 до фаза возрастает от до и подобным же образом увеличивается на при движении Полное изменение фазы составляет, таким образом, как и ожидалось, уравнение (2.8.56) дает