7.3. ФОРМА ОДНОСОЛИТОНИОИ НИТИ

Форму кривой можно считать полностью определенной, если мы знаем координаты радиуса-вектора относительно некоторой системы координат. В принципе определение этих координат при заданных кривизне и кручении как функциях длины дугн (и времени в данной задаче) относится к стандартным вычислениям элементарной дифференциальной геометрии, хотя и требует решения уравнения Риккати. Мы здесь только опишем в общих чертах этот метод. Более полное обсуждение этого вопроса можно найти в [105] и [34].

Отнесем кривую к прямоугольной системе координат, ориентированной так, чтобы невозмущенные части нити совпадали с осью Три единичных вектора могут быть представлены в виде

Так как имеем

Начало координат выбирается произвольно. Компоненты касательного вектора определяются из решения уравнений Серре — Френе (7.2.2) при условиях при Эти векторные дифференциальные уравнения эквивалентны трем системам скалярных уравнений

Каждая из этих систем имеет первый интеграл Результаты сведения уравнений Серре — Френе к уравнению Риккати были суммированы Эйзенхартом ([34], с. 25). Сведение основано на том, что эти первые интегралы могут быть записаны в виде произведения (Индекс в последующих преобразованиях излишен и будет опускаться, пока не будут получены окончательные результаты.) Если ввести функции с помощью определений

то можно просто выразить через и Находим

Определим теперь дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют функции Они эквивалентны уравнениям Серре — Френе (7.3.3). Дифференцирование уравнений (7.3.4а) и использование уравнений Серре — Френе дает

Из (7.3.4a) получим также

Исключая из последнего равенства (7.3.6), находим, что также исключается, и мы приходим к уравнению Риккати

Находим, что удовлетворяет тому же самому уравнению.

Сводка простых свойств уравнения Риккати была дана в разд. 2.12. В частности, общее решение всегда может быть представлено в виде

где теперь восстановлен индекс Каждое является постоянной интегрирования, и функции (одни и те же для всех компонент) суть функции Выражать компоненты касательного вектора через дело довольно долгое; детально эта процедура объяснена в книге [105]. Конечно, в окончательном результате есть неоднозначность, допускающая различные ориентации координатной системы. Как показано в работах по дифференциальной геометрии, одна из возможностей ориентации приводит к соотношениям

где

Чтобы для односолитонной кривой получить функции мы должны найти общее решение уравнения Риккати (7.3.8) при Подстановки сводят уравнение (7.3.8) к уравнению, рассмотренному в упр. 26 гл. 2. Там же приведены функции входящие в общее решение.

Если по этим результатам, используя (7.3.10), составить компоненты касательного вектора, мы получим, что интегралы (7.3.2) принимают вид

где Это параметрическое представление было использовано при построении кривых на рис. 7.2.