Глава 5. НЕКОТОРЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С СИСТЕМОЙ ЗАХАРОВА — ШАБАТА

В гл. 4 мы видели, как линейную задачу рассеяния, связанную с уравнением Шрёдингера, можно использовать для решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Кортевега — де Фриза. Были решены аналогичным образом некоторые другие эволюционные уравнения, путем соотнесения их с парой линейных дифференциальных уравнений первого порядка вида

Эти линейные уравнения являются специальным случаем более общих уравнений (1.5.4). В настоящей главе мы рассмотрим, как эта задача Захарова — Шабата может быть использована для решения трех нелинейных эволюционных уравнений: модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, уравнения sine-Gordon и кубического, или нелинейного, уравнения Шрёдингера. Ниже приведены стандартные формы каждого из этих уравнений:

Для первых двух из этих эволюционных уравнений функция в вышеприведенной линейной системе действительна. Как мы увидим ниже, пара линейных уравнений первого порядка, связанных с двумя первыми эволюционными уравнениями, эквивалентна одному уравнению второго порядка типа уравнения Шрёдингера, в котором потенциал имеет одну из комплексных форм

Когда в гл. 1 была установлена связь между уравнениями Шрёдингера и Кортевега — де Фриза, было найдено, что нужно потребовать также, чтобы временная зависимость собственных функций была задана уравнением где В — дифференциальный оператор третьего порядка (1.2.10). Как мы увидим ниже, модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза возникает при применении той же процедуры, когда в уравнении Шрёдингера и в операторе В используется любой из комплексных потенциалов

Тот факт, что модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза связано с уравнением Шрёдингера, хотя и с комплексным потенциалом, обеспечивает совершенно непосредственный способ введения этого эволюционного уравнения и связанных с ним линейных уравнений. Однако окончательный вид линейных уравнений для модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза предлагает систематический метод получения других эволюционных уравнений. Потом этот систематический подход, подход Захарова—Шабата, будет использован для уравнения sine-Gordon и кубического уравнения Шрёдингера.