7.10. РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Уравнения (7.6.9) для двухуровневого атома можно решить методом обратной задачи для системы Захарова — Шабата. Этот метод в несколько более общей постановке будет кратко изложен в разд. 7.12. Здесь мы используем метод обратной задачи для уравнения Шрёдингера с комплексным потенциалом.

Используя преобразование, упомянутое в гл. 1, введем сначала новые зависимые переменные помощью соотношений

и безразмерную переменную времени где задано формулой (7.8.3). Согласно (7.6.10), новые переменные удовлетворяют уравнениям

где

как в (7.8.9). Следуя процедуре разд. 1.5, находим, что уравнения второго порядка имеют вид

где У — комплексный потенциал

Нам нужно также определить граничные условия для функций Для аттенуатора потребуем, чтобы при (т. е. до прихода импульса). Согласно (7.6.9) и (7.6.10), это в свою очередь означает, что Таким образом, изменяются как при поэтому из определения фундаментальных решений для уравнения Шрёдингера (2.8.4) и (2.10.7) видно, что пропорциональны

Пренебрегая зависящим от пространственной координаты фазовым множителем, который не входит в вычисления, мы можем положить

где постоянная. Так как начальное условие при и определяющие уравнения (7.10.4) удовлетворяют соотношению можно положить Выражая через находим, что (7.6.10) и (7.6.12) эквивалентны соотношению

если положить это выражение сводится к

Для усилителя потребуем, чтобы и при . Отсюда находим это показывает, что пропорциональны и снова приводит к соотношению Возвращаясь к случаю аттенуатора, замечаем, что при т. е. после прохождения импульса, можно использовать соотношение

Чтобы получить стандартные выражения теории рассеяния делим на и имеем

Если мы хотим рассмотреть процесс распространения без потерь (т. е. солитоны), то решение после прохождения импульса снова должно стремиться к Как указывалось выше, это означает, что следовательно, в (7.10.9) нужно положить Согласно (2.816), это означает, что

Таким образом, видно, что физические соображения для данной задачи дают естественную мотивировку связи обращения в нуль коэффициентов отражения с распространением без потерь (солитонным). Для несолитонного распространения не обращается в нуль, и нужно определять пространственные изменения коэффициента отражения. Этот вопрос будет рассмотрен после того, как мы дадим сводку уравнений, нужных для решения обратной задачи рассеяния.

В разд. 3.1 было показано, что потенциал можно получить из выражения

которое является записью уравнения (3.1.4) в обозначениях данной задачи. Функция удовлетворяет уравнению (3.2.8) в виде

Используя (7.10.5) и отделяя действительную и мнимую части, имеем

Пространственная зависимость коэффициента отражения получается из рассмотрения определяющего уравнения в областях, где импульс мал. В линейной области, когда импульс только что начал приходить в некоторую точку можно предположить, что для усилителя и -для аттенуатора. Тогда уравнения Блоха (7.7.5) в безразмерном виде с сводятся к следующим:

Мы можем также пренебречь интегралом в уравнении Марченко (7.10.11), поскольку он является нелинейным членом н поэтому мал при малом Тогда при получим

где

Так как действительно, из (7.10.14) видно, что для рассмотренного в этой задаче комплексного потенциала У должно быть чисто мнимым, а величины должны быть либо чисто мнимыми, либо встречаться парами, симметрично располагаясь относительно мнимой оси.

Теперь можно решить уравнения (7.10.13) относительно выразив их через и. Для учета вклада в непрерывный спектр

подставим в (7.10.13) представление бегущей волны в виде

и найдем, что

Подставляя в волновое уравнение

являющееся безразмерным вариантом (7.7.3а), мы получаем дисперсионное соотношение

При вычислении интеграла в операции усреднения можно избежать сингулярностей, замечая, что конечные времена релаксации в (7.10.13) потребовали бы замены на Теперь можно использовать и (7.10.14), чтобы записать Следовательно, пространственная зависимость коэффициента отражения дается соотношением

где получается из (7.10.18).

Аналогичное рассмотрение вкладов связанных состояний в случае аттенуатора дает

Рассмотрим теперь приложение этих результатов к некоторым простым задачам распространения когерентных импульсов.

Чисто многосолитоииые решения могут быть получены с использованием выражений для В обозначениях данного раздела

где -матрица приведенная в (3.3.7).

Для односолитонного решения с полюсом при где а действительно, находим

Полагая где действительно, и используя получим

Тогда огибающая поля имеет вид

где и скорость импульса о дается соотношением

Если для усреднения использовать то первое выражение для скорости (7.10.25) сводится к выражению для скорости, полученному в пределе Тот же рецепт может быть использован для включения неоднородного уширения в различные многосолитонные решения уравнения sine-Gordon.

Полученная скорость может быть на два или три порядка ниже фазовой скорости с световой волны в среде. Приведем численные значения, характерные для экспериментальных результатов [44]: Тогда Таким образом, т. е. скорость огибающей уменьшается на три порядка, так как функция, усредненная по частотному распределению, приводит к множителю порядка единицы.

Мы видели, что свойства солитонов могут объяснить ряд важных характеристик распространения когерентного оптического импульса в аттенуаторе. Полное решение уравнения Марченко, возможное в чисто многосолитонном случае, а также затухание несолитонного вклада в решение, приводит к весьма удовлетворительному описанию нелинейного распространения в аттенуаторе. Кроме того, импульс, площадь которого ниже некоторого определенного порога -импульса, просто ослабляется, как сигнал малой амплитуды. В этом случае нелинейные эффекты становятся совсем несущественными. Кроме того, в теории совершенно естественно возникает понятие импульса нулевой площади, и этот импульс наблюдался экспериментально [47].

Как и в разд. 4.4 (случай уравнения Кортевега — де Фриза), после определения полюсов, связанных с коэффициентом отражения начального профиля импульса, можно получить конечные амплитуды импульсов, Пары полюсов, симметрично

расположенных относительно мнимой оси, определяют структуру возникающих бризерных решений.