4.3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ И УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

В гл. 1 мы видели, что уравнение Кортевега — де Фриза вида

может рассматриваться как условие, которое нужно наложить на потенциал в уравнении

чтобы спектральный параметр оставался постоянным при изменении параметра Кроме того, было показано, что зависимость решения от времени определяется решением

Сейчас мы рассмотрим, как можно использовать эти линейные уравнения для получения уравнения Кортевега — де Фриза.

Как было показано в гл. 2, два фундаментальных решения уравнения Шрёдингера (4.3.2) могут быть записаны в виде

Параметрическая зависимость от времени, возникающая из-за потенциала была указана явно. Как показывают соотношения (2.8.6) и (2.8.7), функции можно записать как линейные

комбинации друг друга. В частности, функции связаны соотношением

Кроме того, согласно (3.1.4), потенциал в уравнении Шрёдингера и связаны соотношением

Функция удовлетворяет ранее приведенному интегральному уравнению (3.2.8), а именно

где

Мы имеем также где точка означает дифференцирование по к, а не по Согласно (4.3.6), изменение во времени и известно, как только определена функция Функции связаны интегральным уравнением (4.3.7). Но изменение во времени функции оказывается неожиданно простым! Оно содержится только в коэффициентах рассеяния связанных с коэффициентами отражения и прохождения. Если мы найдем изменение во времени этих величин, то изменение во времени таким образом, решение уравнения Кортевега — де Фриза, будет определено по крайней мере в принципе. Сейчас мы покажем, что зависимость коэффициентов рассеяния от временя чрезвычайно проста и дается линейными уравнениями (4.3.2) и (4.3.3). Нам только нужно рассмотреть уравнения в области тех значений х, для которых В этой области уравнение (4.3.3) сводится к

Конечно, это дает зависимость от времени только для отраженных и прошедших волн, но могущество метода обратной задачи рассеяния в том и состоит, что информация о коэффициентах отражения и прохождения (и об их аналитических продолжениях в верхнюю полуплоскость) достаточна для определения самого потенциала рассеяния.

Рассмотрим решение пропорциональное Так как коэффициент пропорциональности может зависеть от времени, мы запишем Сначала мы

покажем, что можно определить функцию рассматривая решение при В этом пределе из (4.3.9) следует, что удовлетворяет уравнению так что Теперь временная зависимость может быть получена при рассмотрении когда х стремится к где, используя (4.3.5), можно записать

Снова подставляя в уравнение (4.3.9) и приравнивая коэффициенты при находим, что Таким образом, мы получаем

Нормировочная постоянная которая находится из имеет вид

Как было показано в разд. 2.8, точки лежат в верхней полуплоскости на мнимой оси,

Можно использовать соотношения между и (2.8.13), чтобы показать, что

Зависимость коэффициента отражения от времени имеет вид

Таким образом, зависимость функции от времени определена полностью, и мы имеем

Согласно этому результату, как только получены коэффициент отражения нормировочные постоянные связанных состояний и соответствующие исходному потенциалу полюса то определена и последующая временная эволюция функции Затем по уравнению Марченко (4.3.7) определяется временная зависимость Тогда решение уравнения

Кортевега — де Фриза следует из соотношения

К сожалению, член с временной зависимостью фазы в интеграле от коэффициента отражения приводит к тому, что этот интеграл трудно вычислить аналитически. Однако, если ограничиться рассмотрением безотражательных потенциалов, этого интегрирования можно избежать, так как тогда Уравнение Марченко (4.3.7) в этом случае легко решается, и решение уравнения Кортевега — де Фриза может быть получено в замкнутом виде. Полученные решения являются чисто многосолитонными.

Аналогичное вычисление дает

Используя это выражение для в уравнении Марченко (3.2.6), можно снова получить решение уравнения Кортевега — де Фриза. Теперь, если интегральное уравнение (3.2.6) решено относительно это решение следует из соотношения