1.6. ПЛАН ДАЛЬНЕЙШЕГО ИЗЛОЖЕНИЯ

Сейчас мы познакомились с простым математическим описанием солнтона и с его физическим смыслом для очень идеализированных физических ситуаций. В последующих главах этой книги затронутые здесь вопросы будут изучены более детально.

На этом этапе нужно уяснить, что решение солитонных уравнений тесно связано с решением некоторых линейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа Штурма — Лиувилля. В гл. 2, особенно в разд. 2.8 и 2.11, дан элементарный обзор соответствующих вопросов теории Штурма — Лиувилля. Специальный аспект этой темы, представляющий интерес для теории солитонов, известен под названием обратной задачи рассеяния, и введение в этот вопрос дается в гл. 3.

Именно в гл. 4, где изучается уравнение Кортевега — де Фриза, мы снова рассматриваем солитоны как таковые. Покончив с изложением предварительных сведений из математики, мы сможем затем непосредственно перейти к специальному использованию

этих сведений для описания солитонов. Глава 4 и последующие содержат много ссылок на предварительные рассмотрения, проведенные в гл. 2 и 3, так что читатель, хотя бы формально знакомый с теорией Штурма — Лиувилля и обратной задачей рассеяния, может прямо перейти к гл. 4 и возвращаться назад только по мере надобности.

Глава 5 посвящена трем уравнениям, которые обычно чаще всего связываются с системой двух линейных уравнений первого порядка, а именно модифицированному уравнению Кортевега — де Фриза, уравнению sine-Gordon и кубическому (или нелинейному) уравнению Шрёдннгера.

В гл. 6 и 7 рассматриваются некоторые из тех физических ситуаций, в которых возникают солитоны. Глава 8 является введением в преобразования Бэклунда, дающие иной подход к многосолитонным решениям. Наконец, в гл. 9 развивается теория возмущений для рассмотрения уравнений, мало отличающихся от известных солитонных уравнений. В качестве примера рассматриваются возмущенное уравнение Кортевега — де Фриза и кубическое уравнение Шрёдингера.