7.13. ВЫРОЖДЕНИЕ УРОВНЕЙ

Самоиндуцированная прозрачность (т. е. распространение оптических солитонов) требует существования профиля импульса и матричного элемента таких, что

К сожалению, у большинства атомных систем наблюдается вырождение уровней. Этот термин используется для описания ситуации, в которой есть более чем одна волновая функция для одного из уровней а или (или для каждого из них). Матричный элемент имевший в предшествующем рассмотрении в разд. 7.6 единственное значение может теперь иметь ряд различных значений, зависящих от различных волновых функций, связанных с уровнями Если есть различные матричные элементы, связывающие резонансные уровни, то в общем случае не будет такого профиля импульса, который мог бы удовлетворять условию (7.13.1) для всех различных матричных элементов. Таким образом, в общем случае нельзя ожидать самоиндуцированной прозрачности. Есть два способа попытаться обойти это затруднение. Первый состоит в том, чтобы потребовать Для невырожденного случая в пределе sine-Gordon легко получить аналитические выражения для профилей поля, удовлетворяющих такому ограничению. Это бризерные решения. В вырожденном случае они удовлетворяют условию (7.13.1) для при любом значении матричного элемента. Пока что в случае вырождения уровней не получены аналитические решения уравнений с импульсами нулевой площади. Однако численные и экспериментальные рассмотрения показали возможность такого подхода ([56]; [47]).

Сейчас мы рассмотрим второй способ преодоления затруднений, связанных с вырождением уровней. Хотя экспериментально ситуация очень ограничительна, она приводит к интересному обобщению уравнения sine-Gordon. Имея в виду простой пример, рассмотрим вырожденную двухуровневую систему, подобную той, которая показана на рис. 7.7. Более конкретно, предположим, что волновые функции имеют вид

где присоединенные полиномы Лежандра; аналогичное выражение записывается для состояния Предполагается, что к резонансу с падающей волной приводит только некоторое значение I, так что при задании волновой функции этим квантовым числом мы будем пренебрегать. Можно было бы включить в рассмотрение и спиновые собственные функции, но их влияние легко учесть, и поэтому сейчас они рассматриваться не будут.

Если систему координат, в которой измеряются углы и взять таким образом, чтобы ось была направлена по поляризации падающего (плоскополяризованного) электрического поля, то вычисление матричных элементов оказывается очень простым. Мы должны рассмотреть интегралы вида

Так как интегрирование по требует, чтобы а интегрирование по чтобы Этот последний результат следует из рекуррентных соотношений и свойств полиномов Лежандра [4]. (Если включить спиновое квантовое число 5, результат равен или 0.) Теперь полная волновая функция системы имеет вид

где

Предполагается, что только одна из возможностей приводит к резонансу с падающей световой волной.

Рис. 7.7. Пример расположения энергетических уровней для вырожденной двухуровневой среды.

Подставляя полную волновую функцию (7.13.4) в уравнение Шрёдингера и поступая как в разд. 7.6, получаем уравнения

где

Следовательно, связаны только одни и те же значения и мы находим ряд одновременно происходящих существенно независимых переходов.

Полная поляризация снова дается выражением

Для волновой функции (7.13.4) это выражение принимает вид

что является очевидным обобщением (7.6.6). Для каждого из подуровней будет пара уравнений того же вида, что были получены в невырожденном случае (7.8.2). Таким образом, мы получаем

для каждого значения Если предположить, что все вырожденные уровни равновероятны и что для данного есть уровней, вытекающих из свойств присоединенных полиномов Лежандра, то первый интеграл системы (7.13.10) будет иметь вид

Записывая

получим

Вместо (7.7.3а) мы теперь имеем

Удобно принять, что где наибольшее из значений Тогда

где

Если включить в рассмотрение спин, то суммирование по проводится от до Наконец, полагая и вспоминая определение имеем

Для известно, что имеют следующие значения ([26], с. 63):

Для наших целей интересен случай (называемый Q-nepexoдами), для которого различные кратны наименьшему значению.

Рис. 7.8. Стационарный профиль импульса (7.13.21) для перехода.

Тогда возможен профиль оптического поля, который обращает одно вырожденное состояние один раз, другое — дважды и т. д., и мы тем самым получаем самоиндуцированную прозрачность при наличии такого типа вырождения уровней.

Простейшим является случай -переход. Тогда и уравнение (7.13.17) принимает вид

Легко найти, что стационарное решение имеет вид ([99], с. 566)

где Соответствующая огибающая электрического поля равна

где Этот результат графически изображен на рис. 7.8. Большие значения приводят к стационарным решениям с большим числом пиков в профиле импульса [94]. Численное решение задачи взаимодействия двух таких импульсов (Буллаф и Кодри [18]) показывает, что амплитуды пиков могут флуктуировать. Точные аналитические выражения, описывающие эти взаимодействия, еще не получены. Последние авторы все же надеются получить солитоиы с внутренними степенями свободы.