1.1. УРАВНЕНИЕ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

В прикладной математике часто встречается дифференциальное уравнение

с граничными удловиями в точках (каждая из них может быть бесконечно удаленной точкой). Это уравнение является простым примером уравнения Штурма — Лиувиля (Ince, [59]). Наиболее детально уравнение (1.1.1) изучалось в квантовой теории, где оно называется уравнением Шрёдингера. Иногда это название сохраняется даже в тех случаях, когда оно применяется в классической физике, например при описании распространения волн в неоднородных средах.

Для заданной функции которая в задачах квантовой теории служит потенциалом, граничные условия могут привести к тому, что уравнение будет иметь ненулевое решение (собственную функцию только при некоторых специальных значениях постоянной X (собственных значениях Задачей Штурма — Лиувилля называется определение зависимости решения у от параметра X и зависимости собственных значений от граничных условий.

Одним из простейших примеров такой задачи на собственные значения является случай при нулевых граничных условиях, Решение соответствующего уравнения с указанными граничными условиями показывает, что собственными функциями являются функции с собственными значениями

С ростом длины системы значения становятся все более тесно расположенными, и в пределе мы получаем непрерывную область собственных значений Если предыдущее уравнение описывает колебательную систему, то каждая собственная функция представляет собой форму нормальной моды системы. Примером служит однородная струна, колеблющаяся в свободном пространстве, концы которой закреплены в точках Так как собственные значения связаны с резонансными частотами колебаний системы, их обычно называют спектром собственных значений. В рассмотренном здесь случае однородной струны в каждой нормальной моде колеблется вся система целиком. Однако можно построить неоднородные системы

с неоднородностью, представленной функцией для которых колебания ограничиваются только частью системы. В этом случае колебание ограничивается неоднородностью, а не границами. Примером служит колеблющаяся струна, часть которой погружена в упругую среду. Эта система будет обсуждаться подробно в гл. 2

В последующем изложении мы всегда будем иметь дело с бесконечно протяженными системами; следовательно, любые локализованные решения всегда будут связаны с неоднородностями. По-видимому, полнее всего такие локализованные решения изучены в квантовой теории, где они используются для описания дискретных уровней энергии атомных систем.

Существует относительно мало функций для которых решение соответствующего дифференциального уравнения может быть выражено через стандартные трансцендентные функции. Например (это будет детально рассмотрено в гл. 2), выбор функции в виде при граничных условиях приводит к единственному собственному значению и отвечающей ему собственной функции т. е. является решением уравнения обращающимся в нуль при . В квантовой теории интерпретация этого результата состоит в том, что частица заперта в потенциальной яме, форма которой пропорциональна а единственное значение К пропорционально энергии, которой может обладать частица в этой яме. В качестве классической интерпретации того же уравнения мы можем рассматривать туннельное распространение волны в среде с зависящим от глубины показателем преломления, где глубина измеряется от положения, соответствующего максимальному значению Неоднородность создает в среде волновод. Волна может быть локализована на глубине, около которой показатель преломления достигает своего максимального значения, Если знак потенциала изменить на обратный, так что то потенциал является отталкивающим и связанного состояния нет. Аналогично, когда показатель преломления задается соотношением волны стремятся уйти из области изменения показателя преломления, и туннельного эффекта нет. Этот пример будет подробнее рассмотрен в гл. 2.

Когда область становится бесконечной, уравнения типа (1.1.1), кроме дискретных отрицательных значений и связанных с ними локализованных волновых функций могут также обладать непрерывным семейством решений, соответствующих различным положительным значениям В случае квантовой механики физическая интерпретация таких решений состоит в том, что некоторое препятствие, характеризуемое потенциалом рассеивает падающую на него частицу с энергией, пропорциональной В рассматриваемых здесь одномерных задачах наличие рассеивателя обычно проявляется через отражение и прохождение

падающей волны. (В последующих рассуждениях центральную роль будет играть тот факт, что в результате определенного выбора потенциала волна может проходить полностью, без отражения.) Конечно, на рассеивающий центр могут попадать частицы с любой положительной энергией, и, следовательно, мы ожидаем, что существует непрерывная область положительных собственных значений В примере упоминавшейся выше неоднородной среды случаю соответствует отражение и прохождение волны произвольно высокой частоты, при этом волна падает на неоднородный слой извне. Во второй главе мы покажем, что для приведенной выше потенциальной функции решения рассеяния строятся как линейные комбинации функций Часто нахождение решения уравнения Шрёдингера с заданной потенциальной функцией называется решением задачи рассеяния.