7.1. САМОИНДУЦИРОВАННЫЙ ВИХРЬ

Вектор завихренности определяется соотношением где вектор, задающий поле скоростей жидкости. Как указывалось в разд. 6.1, для несжимаемой жидкости уравнение сохранения массы сводится к Таким образом, уравнения, определяющие и, имеют тот же вид, что и уравнения, определяющие вектор магнитного поля В в магнитостатике, и могут быть решены теми же методами. Если с помощью определения ввести векторный потенциал, то при условии (ниже будет показано, что имеет место именно этот случай) получим

В бесконечном объеме жидкости, где поверхностные интегралы не дают вклада, решение этого уравнения имеет вид ([62], с. 141)

и поэтому

Чтобы убедиться в том, что отсюда следует заметим сначала, что так как дивергенция ротора тождественно равна нулю. Таким образом, имеем

поскольку нет поверхностных интегралов.

Если предположить, что завихренность ограничена трубкой с площадью поперечного сечения и величина ее поперек трубки постоянна, то уравнение (7.1.3) принимает вид

где — приращение длины в направлении нити. Циркуляция вихря определяется формулой

где приращение длины вдоль кривой, окружающей вихревую трубку, площадь трубки внутри контура с. Таким образом,

уравнение (7.1.5) принимает вид

где интеграл берется вдоль вихревой линии.

Чтобы определить самоиндуцированное движение вихря, нужно вычислить интеграл в (7.1.7) для точек поля вблизи вихря. Если мы попытаемся рассмотреть вихревую нить как бесконечно тонкую кривую, то получим, что результат логарифмически расходится. Если брать интеграл вдоль нити до бесконечности, мы также столкнемся с логарифмической расходимостью.

Рис. 7.1. Сегмент вихревой нити.

Рассмотрим криволинейную часть нити и аппроксимируем ее дугой окружности. Векторы показаны на рис. 7.1. В качестве трех единичных векторов выбираются векторы касательной нормали и бинормали Вектор поля предполагается малым, но не бесконечно малым. Если нить лежит в плоскости 1—2, как показано на рисунке, то

где радиус кривизны нити в точке 0. Для малых 9 это приближенно равно

где и есть кривизна нити. Тогда с точностью до первого порядка по

Затем находим, что

Вблизи нити можно пренебречь величинами и и получить

Можно также записать

где Мы пренебрегли членом малым по сравнению с единицей, и предположили, что Теперь (7.1.7) записывается в виде

Как отмечалось ранее, этот результат логарифмически расходится при Мы получаем логарифмическую расходимость и в верхнем пределе Для находим, что скорость вблизи вихря равна

Таким образом, скорость в вихре направлена по бинормали и пропорциональна кривизне нити. Отождествляем теперь эту скорость со скоростью вихревой нити. Если длина, измеренная вдоль нити, радиус-вектор точки нити, то

Вводя новую временную координату

имеем Впредь время будем измерять этим способом, но опуская штрихи. Таким образом, уравнение движения нити имеет вид

Сейчас мы выведем уравнение, определяющее форму нити при таком уравнении движения.