Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.3. КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРАВ разд. 5.1 мы видели, что бризерное решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза обнаруживает солитоноподобные свойства при взаимодействии с другим бризерным решением. То же самое имеет место для бризерного решения уравнения sine-Gordon. Для брнзерных решений с малой амплитудой мы видели также, что часть бризерного решения, отличающаяся малой амплитудой и медленно меняющейся фазой, удовлетворяет уравнению типа
которое называется кубическим уравнением Шрёдингера. Сейчас мы исследуем это уравнение и покажем, что даже для решений с большой амплитудой оно обладает свойствами, которых мы ожидаем от солитоиных уравнений, за исключением того, что самое элементарное солитонное решение теперь является локализованным осцилляторным решением, аналогичным ранее рассмотренному бризерному решению. Линейные уравненияЗависимая переменная в кубическом уравнении Шрёдингера является комплексной величиной. Чтобы получить соответствующие линейные уравнения для решения методами обратной задачи рассеяния, мы начнем с системы
Производные по времени от функций (5.1.36), приравняем сначала смешанные вторые производные от
Так как кубическое уравнение Шрёдингера — это уравнение второго порядка по х, можно ожидать, что разложения в ряд по
Полагая
Решение методом обратной задачи рассеянияСледуя описанной ранее процедуре анализа других солитонных уравнений, рассмотрим теперь решение
Согласно (2.11.7), имеем
Таким образом, в этом пределе
Согласно
Повторяя предыдущие вычисления для фундаментального решения
Чтобы найти решения кубического уравнения Шрёдингера, используем сейчас результаты обратной задачи рассеяния для комплексного потенциала, полученные в разд. 3.9. Единственные решения, которые легко найти в явном виде, — это многосолитонные решения, связанные с безотражательными потенциалами. Даже для них вычисления связаны со значительными алгебраическими трудностями. Простейшим случаем, конечно, является односолитонное решение, так как матрица
Из (3.9.20) имеем
Полагая
Для (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|