5.3. КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

В разд. 5.1 мы видели, что бризерное решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза обнаруживает солитоноподобные свойства при взаимодействии с другим бризерным решением. То же самое имеет место для бризерного решения уравнения sine-Gordon. Для брнзерных решений с малой амплитудой мы видели также, что часть бризерного решения, отличающаяся малой амплитудой и медленно меняющейся фазой, удовлетворяет уравнению типа

которое называется кубическим уравнением Шрёдингера. Сейчас мы исследуем это уравнение и покажем, что даже для решений с большой амплитудой оно обладает свойствами, которых мы ожидаем от солитоиных уравнений, за исключением того, что самое элементарное солитонное решение теперь является локализованным осцилляторным решением, аналогичным ранее рассмотренному бризерному решению.

Линейные уравнения

Зависимая переменная в кубическом уравнении Шрёдингера является комплексной величиной. Чтобы получить соответствующие линейные уравнения для решения методами обратной задачи рассеяния, мы начнем с системы

Производные по времени от функций даются уравнениями (5.1.35) с соответствующими коэффициентами Чтобы получить эти коэффициенты, мы, как и при выводе системы

(5.1.36), приравняем сначала смешанные вторые производные от В результате имеем

Так как кубическое уравнение Шрёдингера — это уравнение второго порядка по х, можно ожидать, что разложения в ряд по для будут содержать только члены до включительно. Поэтому можно записать Подставляя эти выражения в (5.3.3) и приравнивая члены с одинаковыми степенями находим, что а также, что Эволюционное уравнение для и получается из членов второго из уравнений (5.3.3), не содержащих Находим, что

Полагая получаем кубическое уравнение Шрёдингера (5.3.1). Приведенные выше выражения для дают линейные уравнения

Решение методом обратной задачи рассеяния

Следуя описанной ранее процедуре анализа других солитонных уравнений, рассмотрим теперь решение системы (5.3.2), пропорциональное одному из фундаментальных решений или которые были введены в разд. 2.11. Сконцентрируем внимание на последнем решении и запишем

Согласно (2.11.7), имеем при х, стремящемся к Из первого из уравнений (5.3.5), предполагая, что и — локализованная функция, получим или При х, стремящемся к используя запишем

Таким образом, в этом пределе Подставляя в (5.3.5) и пренебрегая величиной и, получим

Согласно зависимость нормировочной постоянной от времени имеет вид

Повторяя предыдущие вычисления для фундаментального решения или используя соотношения (3.9.10) между различными коэффициентами получим также

Чтобы найти решения кубического уравнения Шрёдингера, используем сейчас результаты обратной задачи рассеяния для комплексного потенциала, полученные в разд. 3.9. Единственные решения, которые легко найти в явном виде, — это многосолитонные решения, связанные с безотражательными потенциалами. Даже для них вычисления связаны со значительными алгебраическими трудностями. Простейшим случаем, конечно, является односолитонное решение, так как матрица (3.9.19) состоит только из одного элемента. Для единственного полюса в точке находим, что

Из (3.9.20) имеем

Полагая можно это односолитонное решение переписать в виде

Для этот результат сводится к частному случаю, полученному для решения с малой амплитудой, (5.1.34). Следует отметить, что если является решением кубического уравнения Шрёдингера, то и также является решением.

(см. скан)

(см. скан)