2.3. УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННАЯ СТРУНА

Если часть струны помещена в среду, обеспечивающую упругую восстанавливающую силу на единицу длины струны, то стандартное применение второго закона Ньютона приводит к появлению дополнительного члена в уравнении (2.1.1). Мы получаем

Нас будут интересовать случаи, в которых сила локализована, т. е. либо обращается в нуль вне некоторого интервала, окружающего центральную точку, либо экспоненциально затухает при удалении от этой точки. Можно ожидать, что падающая на упругую область волна частично отразится, частично пройдет. Очевидное физическое ограничение, налагаемое на функцию состоит в том, что она должна представлять собой плотность восстанавливающей силы и, следовательно, не может быть отрицательной.

Уравнение (2.3.1) можно переписать в виде

где . Даже если постоянно, решение этого уравнения не столь простое, как в случае уравнения, описывающего свободную струну. Причину этого найти нетрудно. Рассматривая простой случай постоянного и отыскивая решения с одной частотой в виде мы находим, что удовлетворяет уравнению

где

Тогда смещение струны имеет вид

и видно, что играет роль фазовой скорости волны. Теперь волновое движение обладает дисперсией, так как, согласно (2.3.4), фазовая скорость волны зависит от частоты, и волна уже не может распространяться без искажения профиля, как это имело место в случае, описываемом соотношением (2.1.2), т. е. общим решением уравнения (2.1.1).

Кроме того, теперь у системы есть пороговая частота, поскольку, согласно (2.3.3) и (2.3.4), частоты, меньшие приводят к мнимому значению постоянной распространения. Такие низкочастотные возмущения вообще не распространяются как волна, а просто перемещают струну вверх и вниз в фазе. Это делает возможным возбуждение локализованных волновых движений неоднородно упруго закрепленной струны. В качестве простого примера рассмотрим случай

Область может поддерживать низкочастотную стоячую волну, ограниченную нераспространяющимся возмущением, экспоненциально затухающим при Следует отметить, что ограниченное возмущение свободной струны, т. е.

невозможно, поскольку, как отмечалось выше, не может быть отрицательной величиной. Локализованные решения, связанные с отрицательными значениями будут получены при

рассмотрении одномерных задач рассеяния в квантовой теории и двумерных задач классической теории распространения волн. После этого мы рассмотрим локализованные решения. Сейчас мы займемся рассеянием волн, падающих на неоднородность на струне.

В качестве примера рассеяния волн неоднородной упругой областью рассмотрим струну, отрезок которой с постоянным значением упруго закреплен, так что

Если из области отрицательных значений х приходит волна единичной амплитуды с частотой то можно волновое движение записать для трех областей в виде

где По виду а легко заметить, что пока волна в упругой области не распространяется. Четыре постоянных определяются из требования непрерывности смещения и наклона струны в точках В точке это дает

а в точке мы находим, что

Решение этих уравнений дает

где

Как и в случае простого осциллятора, состоящего из массы и пружины, волна может проходить полностью Это имеет место для бесконечного числа частот, удовлетворяющих условию или т. е. когда в эту область попадает целое число полупериодов волны, распространяющейся

в упруго закрепленной струне. Как и в случае простой системы масса—пружина, знаменатель в выражениях для обращается в нуль и тоже в бесконечном числе точек. Определение положения этнх нулей облегчается в первую очередь использованием тождества в уравнении Это приводит к выражению

обращающемуся в нуль при обращении в нуль одного из сомножителей. Первый множитель, появляющийся и в трехмерных задачах квантового рассеяния, был тщательно рассмотрен Нуссенцвайгом [91]. Существует бесконечное число решений, которые опять же все лежат в нижней полуплоскости Аналогичную процедуру можно применить ко второму сомножителю, однако нам не обязательно сколько-нибудь детально изучать решения этих уравнений.

(см. скан)

(см. скан)