4.2. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ

Если выбрать то стационарное решение в виде импульса, рассмотренное в предыдущем разделе, принимает вид

Мы можем интерпретировать этот результат, считая, что это выражение описывает распространение начального возмущения и Кроме того, в разд. 1.3 было показано, что начальный профиль превращается в два солитона, согласно (1.3.25). Как мы увидим в разд. 4.4, если положительное целое число, то начальные профили соответствующие безотражательным потенциалам, полученным в (3.3.22), превратятся в чисто

(кликните для просмотра скана)

многосолитонные решения. Два только что упомянутых случая соответствуют

Критерий появления многосолитонных решений может быть пересчитан различным образом посредством изменения масштаба исходного уравнения. Например, преобразования координат дают уравнение от где

Рис. 4.3. Несолитонный вклад в решение уравнения Кортевега — де Фрнза для начального профяля Направление распространения — слева направо. Появление колебаний впереди импульса связано с наложением периодических граничных условий. Решение получено У. Фергюссоном

Тогда начальное значение, соответствующее случаю солитонов, имеет вид Если положить эту амплитуду равной и ввести параметр видно, что односолитонное решение соответствует случаю Для больших значений а появится более одного солитона. Обсуждение уравнений такого вида содержится в статье В. И. Карпмана и Соколова [68].

Если не является одним из этих специальных профилей, то последующая эволюция импульса находится из численного решения, включающего, кроме солитонов, осцилляторный волновой шлейф. На рис. 4.2 показан пример эволюции профиля начального импульса соответствующего значению в амплитуде волны Видно, что осцилляторный

шлейф весьма мал. Для больших нецелых значений отношение энергии шлейфа к энергии солитонов еще меньше. В последующих разделах этой главы будут рассматриваться как точные, так и приближенные методы определения амплитуд различных солитонов при наличии волнового шлейфа. Для значений меньших единицы, солитон по-прежнему возникает, но большая часть энергии связана теперь с волновым шлейфом. Другим типом начального профиля, который, как можно ожидать, усилит несолитонную часть решения, является профиль, в котором содержит разрывы, или знакопеременный начальный профиль; пример последнего показан на рис. 4.3. Можно определять волновой шлейф из решения линейного интегрального уравнения (уравнения Марченко), но количественный анализ этого уравнения, хоть оно и линейно, все равно весьма трудоемок. К счастью, при гладком изменении начального профиля и появлении более чем одного солитона, осцилляторная часть решения относительно мала.