8.3. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА

Рассмотренные в двух предыдущих разделах преобразования, при которых исходная функция и преобразованная функция удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению в частных производных, являются специальным классом преобразований Бэклунда. В общем случае функции могут удовлетворять различным уравнениям. Кроме того, необязательно, чтобы была какая-либо связь с уравнением Штурма — Лиувилля. В этом разделе мы кратко рассмотрим разработанный Клэрэном [23] метод построения как ранее рассмотренных преобразований Бэклунда, так и преобразований более общего вида, когда функции удовлетворяют различным дифференциальным уравнениям в частных производных.

Рассмотрим преобразования Бэклунда, связывающие дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных вида где функции x, у и z, а также где Такого типа уравнения часто называют уравнениями Монжа — Ампера. Преобразования Бэклунда, связывающие два таких уравнения второго порядка, задаются парой дифференциальных уравнений первого порядка

Классификация различных типов получающихся преобразований требует детального рассмотрения. Это было проделано Клэрэном (1903) [23] и подытожено в работе [46]. Краткий обзор содержится в книге Форсайта [39]. В некоторых случаях это более простое преобразование, называемое контактным. В других случаях оно называется преобразованием Бэклунда. Форсайт показал также ([39], с. 441), что произвольно выбранное уравнение Монжа — Ампера нельзя связать с преобразованием Бэклунда [Нужно иметь возможность удовлетворить четырем уравнениям с тремя неизвестными.)

Для определения заметим сначала, что условие интегруемости (т. е. равенство смешанных вторых производных)

требует, чтобы функции (8.3.1) удовлетворяли соотношению

Замечая, что каждая из четырех переменных зависит от х и у, и обозначая штрихами частные производные, имеем

Аналогичное выражение справедливо для Используя (8.3.1) для исключения и группируя члены, находим, что

Считая функцию известной, мы видим, что пока по крайней мере один из коэффициентов или не равен нулю, уравнение (8.3.4) является дифференциальным уравнением в частных производных для функции

Пример — уравнение Лиувилля

В качестве примера построения методом Клэрэна преобразования Бэклунда, связывающего два различных уравнения, получим преобразование между нелинейным уравнением Лиувилля и линейным уравнением Последнее уравнение является волновым уравнением в характеристических координатах. Общее решение волнового уравнения, выраженное через две произвольные функции, конечно, известно. Мы увидим, что используя преобразование Бэклунда, можно получить общее решение уравнения Лиувилля.

Так как уравнение Лиувилля содержит но не или из условия совместности (8.3.4) мы ожидаем, что и Итак, мы начнем с уравнений преобразования вида

Производная по у от (8.3.5а) дает

Используя и то, что имеем

Две производные по дают

Это означает (поскольку зависит главным образом от , что является линейной функцией Аналогичным образом можно

показать, что является линейной функцией и можно записать

Как указывалось выше, мы должны наложить ограничение Можно избежать относительно скучного анализа и легко получить простое преобразование, полагая Тогда уравнения преобразования суть

а условие совместности (8.3.4) записывается в виде

где был использован факт, что удовлетворяет уравнению Лиувилля. Теперь неизвестные функции определяются из рассмотрения различных производных от В частности,

С этими соотношениями выражение для сводится к следующему:

Кроме того, уравнения (8.3.12) являются дифференциальными уравнениями в частных производных, имеющими решения

Из (8.3.13) мы можем получить

Если ввести новые независимые переменные

то уравнение (8.3.15) можно записать в виде

где переменные разделены и является постоянной разделения. (Выбор знака соответствует действительным показателям экспонент в уравнении Лиувилля.) Таким образом, выражения для имеют вид

Теперь, используя (8.3.7), можно определить постоянные интегрирования Находим

Этому уравнению можно удовлетворить, выбирая либо либо к При первом выборе постоянных мы получим преобразование в виде

Последний выбор постоянных дает то же самое однопараметрическое преобразование Бэклунда.

Уравнения преобразования (8.3.20) могут быть использованы для получения общего решения уравнения Лиувилля. С этой целью заметим сначала, что общее решение волнового уравнения можно записать в виде Полагая линеаризуем уравнения преобразования и получим

Общее решение этих линейных уравнений легко определяется. Если положить то находим, что общее решение уравнения Лиувилля имеет вид

В этом примере, где с помощью преобразования Бэклунда уравнение Лиувилля преобразуется в простое линейное уравнение, Получено общее решение нелинейного уравнения. Для преобразования нелинейного уравнения в самого себя, как в случае солитенных уравнений, метод дает только частные решения.

Известны некоторые другие преобразования различных дифференциальных уравнений в частных производных, и можно показать, что они являются примерами преобразований Бэклунда. Нелинейное уравнение Бюргерса связано с линейным уравнением диффузии посредством преобразования ([39], [54], [25])

В обозначениях данного раздела это соотношение эквивалентно

Как намечено в упр. 1, использованный выше метод можно применить для получения дополнительного уравнения

Уравнения (8.3.24) и (8.3.25) составляют преобразование Бэклунда, связывающее уравнение Бюргерса с уравнением диффузии В гл. 5 мы видели, что уравнение Кортевега — де Фриза и модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза связаны преобразованием Миуры. Чтобы получить преобразование Бэклунда, можно присоединить к преобразованию Миуры дополнительное уравнение. Эта процедура излагается в упр. 5.

(см. скан)

(см. скан)