2.12. СВЯЗЬ МЕЖДУ УРАВНЕНИЕМ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЯМИ ЗАХАРОВА - ШАБЛТА: УРАВНЕНИЯ РИККАТИ

В разд. 1.5 мы видели, что линейные уравнения

эквивалентны уравнению второго порядка типа уравнения Шрёдингера с комплексным потенциалом. Конкретнее, мы нашли, что

Аналогично мы можем получить

Теперь получим этот результат другим методом, с помощью нелинейного дифференциального уравнения второго порядка, называемого уравнением Риккати. Уравнения Риккати снова встретятся нам при дальнейшем рассмотрении теории солитонов, и для удобства в последующем мы сейчас дадим сводку некоторых свойств этого уравнения [31].

Если первое и второе уравнения (2.12.1) умножить на соответственно и вычесть одно из другого, то в результате после деления на получим нелинейное уравнение

где Это нелинейное уравнение первого порядка является примером уравнения Риккати. В данный момент просто отметим, что подстановка приводит к линейному уравнению второго порядка

Если с помощью подстановки и исключить член с первой производной, мы получим уравнение

которое имеет тот же вид, что и уравнение (2.12.3) для Таким образом, если граничные условия для обеих функций одинаковы, то равно

Возвращение назад от уравнения Риккати (2.12.4) к линейной системе (2.12.1) несколько сложнее, поскольку подстановка преобразует уравнение Риккати в уравнение

которому может удовлетворять решение системы (2.12.1), хотя и не единственным образом. Однако заметив, что

мы можем положить где X подлежит определению. Исключая мы видим, что выбирая к постоянным, мы восстанавливаем второе уравнение системы (2.12.1).

Для ссылок в последующем мы сейчас кратко рассмотрим некоторые общие свойства уравнений Риккати, Стандартная форма этого уравнения имеет вид

Подстановка

преобразует уравнение Риккати в линейное уравнение второго порядка

Общая структура решения уравнения Риккати может быть получена из общего решения этого линейного уравнения. Если два линейно независимых решения уравнения (2.12.10), то общее решение имеет вид где постоянные. Из (2.12.8) мы видим, что уравнение Риккати имеет общее решение т. е. решение вида

где -постоянная интегрирования, а являются функциями х.

Хотя, как показано выше, уравнение Риккати всегда можно преобразовать в линейное уравнение, получить общее решение этого линейного уравнения может быть трудно. Однако ситуация оказывается много проще, если есть частное решение уравнения Риккатн. Если обозначить через частное решение, то легко показать, что функция определенная соотношением будет удовлетворять линейному уравнению

Теперь можно получить общее решение этого уравнения, и следовательно, исходного уравнения Риккати.

Если известно еще одно частное решение то можно аналогичным образом ввести функцию определяемую соотношением и показать, что

Если разделить (2.12.11) и (2.12.12) на соответственно, получим уравнение

у которого есть решение вида

где а — постоянная интегрирования. Изданного выше определения находим, что общее решение уравнения Риккати имеет вид

Наконец, приведем общий вид преобразования, использованного выше для исключения первых производных в линейном уравнении второго порядка (2.12.5). Подстановка преобразует дифференциальное уравнение

в уравнение

(см. скан)

(см. скан)