3.9. СИСТЕМА ЗАХАРОВА — ШАБАТА С КОМПЛЕКСНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

В некоторых последующих приложениях метода Захарова — Шабата встретятся комплексные потенциалы. Линейные уравнения будут иметь вид

где - комплексно - сопряженная комплексного потенциала Следуя использованному в разд. 2.11 методу, можно

рассматривать эти уравнения как преобразования Фурье от уравнений

Можно снова использовать фундаментальные решения в том же виде, что и в разд. 2.11. Подставляя (2.11.4) в уравнения (3.9.2), получим

Аналогично из фундаментальных решений (2.11.5) находим, что

В дополнение к двум фундаментальным решениям

можно получить два других решения, рассматривая комплексно-сопряженные линейных уравнений (3.9.1). Еслн А комплексно, то находим, что другое решение системы (3.9.1) имеет вид

аналогично для Рассматривая различные вронскианы, как в разд. 2.11, можно показать, что эти решения независимы. Для действительных можно снова ввести линейные комбинации, определяющие различные задачи рассеяния, и записать

Эти выражения аналогичны соотношениям (2.11.19) и (2.11.20). Различные коэффициенты связаны соотношениями

где определитель Вронского является линейной комбинацией решений и дается формулой (2.11.18). Совместность (3.9.8) и (3.9.9) требует выполнения соотношений

Коэффициенты отражения и прохождения те же, что были получены в разд. 2.11 для действительного потенциала, и связь между ними также дается формулами (2.11.26) и (2.11.28).

Поскольку интегралы в определении по формулам (2.11.15) и (2.11.17) по-прежнему сходятся при комплексном если можно в верхней полуплоскости плоскости к использовать определение приведенное в (3.9.10). Как и в рассмотренном в разд. 2.11 случае действительного локализованные решения получаются из нулей в верхней полуплоскости. Однако теперь нет ограничения, состоявшего в том, что нули должны либо лежать на мнимой оси, либо представлять собой пары, симметрично расположенные относительно мнимой оси. Сейчас мы рассмотрим пример с единственным нулем в произвольной точке верхней полуплоскости.

Чтобы получить систему уравнений Марченко, возьмем преобразование Фурье от уравнений (3.9.8). Метод идентичен тому, который приводит к уравнениям (3.6.10) и (3.6.11) в случае действительного потенциала, за исключением того, что нужно рассматривать преобразование Фурье от функций Чтобы получить эти выражения, используем (2.11.3) и (2.11.4) и запишем

Следовательно, преобразование Фурье имеет вид

Окончательный результат преобразования Фурье от уравнения (3.9.8а) имеет вид

где, как в (3.6.12),

Из (3.9,8Ь) получим

где, как в (3.6.9),

Чтобы получить чисто безотражательные потенциалы, мы будем следовать методу, использованному в разд. 3.7. Рассмотрим интегральные уравнения, связывающие и Сначала определим -компонентные векторы

и затем набор для Затем найдем где

Окончательные выражения получаются из (3.9.5) и (3.9.6). Они имеют вид

Для находим, что Полагая получим

При полюс лежит на мнимой оси, тогда действительно и решение сводится к (2.11.45). Те же результаты могли бы быть, конечно, получены при решении (3.9.16) относительно

(см. скан)

(см. скан)

Асимптотическое решение

В разд. 2.11 было рассмотрено асимптотическое решение системы двух уравнений с действительным потенциалом. Использованный там метод легко распространить на случай комплексного потенциала (Захаров, Шабат [119]). Если из (3.9.1) получить уравнение второго порядка для то

Отождествляя с фундаментальным решением приведенным в (2.11.16), и записывая

где так что в этом пределе сведется к мы находим из (3.9.23), что функция удовлетворяет уравнению

Подставляя в (3.9.25) разложение

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях имеем

Первые несколько коэффициентов после имеют вид

Из соотношения (3.9.8а) находим, что при Поэтому Снова пользуясь тем, что коэффициент прохождения стремится к единице при введем асимптотическое разложение

Проводя тот же анализ, что и в разд. 2.8, получим постоянные

Если локализовано, то при использовании (3.9.30) можно, конечно, отбросить в (3.9.28) полные производные.