2.11. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ЗАХАРОВА — ШАБАТА

До сих пор рассматривались задачи рассеяния, связанные с уравнением Шрёдингера с действительным потенциалом. Мотивировка этих исследований была кратко изложена в гл. 1, где указывалась связь между уравнениями Шрёдингера и Кортевега — де Фриза. Как упоминалось в разд. 1.5, аналогичным образом с другой задачей рассеяния связан ряд других дифференциальных уравнений в частных производных, решения которых ведут себя как солитоны. В этом случае удобнее всего записать обыкновенное дифференциальное уравнение в виде пары уравнений первого порядка. Простейшая форма этих уравнений имеет вид

где параметр опять же является собственным значением. Чтобы ввести метод в его простейшей форме, будем предполагать, что функция действительна. Как отмечалось в разд. 1.5, система (2.11.1) эквивалентна уравнению Шрёдингера с комплексным потенциалом. В разд. 5.4 будут рассмотрены более общие пары уравнений, содержащие две различные потенциальные функции, которые могут быть комплексными.

Нестационарная задача

Чтобы интуитивно понять приведенные выше линейные уравнения, рассмотрим нестационарную задачу, как это было сделано в разд. 2.10 для уравнения Шрёдингера. Рассмотрим два типа частиц, например с положительным и отрицательным зарядом. Они проходят друг через друга в противоположных направлениях со

скоростью с, как показано на рис. 2.6. Они отделены барьером от резервуара, содержащего дополнительные положительные и отрицательные частицы. Участок барьера содержит полупроницаемую мембрану, которая позволяет как положительным, так и отрицательным частицам проходить из резервуара в верхнюю область, где затем положительные частицы движутся налево со скоростью с, а отрицательные — с той же скоростью направо. Предполагается, что число положительных (отрицательных) частиц, проходящих за единицу времени вверх через барьер в произвольной точке барьера х, пропорционально избыточному (по сравнению со средним) числу отрицательных (положительных) частиц, расположенных над барьером в этой точке.

Рис. 2.0. Взаимодействие частиц через полупроницаемую мембрану.

Допускается, что коэффициент пропорциональности может зависеть от х. Обозначая избыточную плотность положительных и отрицательных частиц в точке х в момент времени через соответственно и коэффициент пропорциональности в проницаемости через имеем следующие уравнения для

Будет рассмотрен случай только одного пространственного измерения. Пространственными неоднородностями, связанными с высотой над барьером, будем пренебрегать. Введем теперь преобразование Фурье с помощью соотношений

и предположим, что при стремящемся к обращаются в нуль; если положить то преобразованные уравнения (2.11.2) принимают вид (2.11.1).

Прежде чем исследовать преобразованные уравнения, рассмотрим сначала возможный вид решения во временной области,

По аналогии с решениями уравнения второго порядка, введенными в разд. 2.10, рассмотрим ситуацию, в которой есть только -функция положительных частиц, достигающих . [Снова применимо примечание после (2.10.5).] Можно ожидать, что это решение будет иметь вид

где единичная ступенчатая функция. Как и в разд. 2.10, функции представляют след, а также отраженные частицы, которые могут встречаться в случае Аналогично, -функ-ция отрицательных частиц, приходящих в представима в виде

После замены переменной преобразование Фурье этих решений дает

и

где связь между функциями с индексами 4-, — и 1,2 та же, что и в (2.11.3). Как и в случае уравнения Шрёдингера, решения такого вида будут играть центральную роль при рассмотрении обратной задачи рассеяния для системы (2.11.1).

Фундаментальные решения

Четыре функции можно считать фундаментальными решениями преобразованной задачи (2.11.1). Сейчас мы получим интегральные уравнения, которым удовлетворяют эти решения. Они соответствуют уравнениям (2.8.3) и (2.8.4) для уравнения Шрёдингера. Удобно сначала преобразовать уравнения (2.11.1) в векторное уравнение для двухкомпонентного вектора

где означает операцию транспонирования, Вводя матрицу

и вектор мы можем записать систему (2.11.1) в матричной форме

Как и при получении уравнений (2.8.3) и (2.8.4) для уравнения Шрёдингера, превратим (2.11.9) в интегральное уравнение для вектора используя метод вариации параметров.

Так как однородное уравнение, соответствующее (2.11.9), имеет два линейно независимых решения,

можно решение уравнения (2.11.9) записать в виде линейной комбинации

где амплитуды, подлежащие определению. Подстановка в (2.11.9) дает

Разделяя на компоненты и интегрируя, имеем

где постоянные определяются начальными условиями. Если мы рассмотрим решение данное формулами (2.11.6), которое удовлетворяет соотношению

то из (2.11.10) мы видим, что

и поэтому, полагая имеем

Аналогичным образом решение, имеющее предельную форму

можно отождествить с решением данным формулой (2.11.7). Мы получим

Так как действительно, то для действительных

Соотношения для вронскианов

Если любые два решения системы (2.11.1) для одного и того же значения к, то их линейная независимость гарантируется необращением в нуль выражения

Если уравнения (2.11.1) записать для и то комбинируя эти уравнения, можно показать, что или

Сейчас мы исследуем линейную независимость различных решений преобразованных уравнений (2.11.1). Сначала следует заметить, что если представляет собой решение системы (2.11.1) для некоторого значения к, то

рассматривая уравнения, получающиеся при замене А на —А, мы видим, что также является решением уравнений (2.11.1). Следует отметить, что Итак, характер решения линейных уравнений (2.11.1) не зависит существенно от знака и, как это имело место в случае уравнения Шрёдингера. Точнее, если является решением (2.11.1), то является решением этих уравнений, если и заменить на . Легко показать, что решения линейно независимы, так как вычисление вронскиана при дает Аналогично находим, что

Так как любое третье решение может быть выражено как линейная комбинация двух линейно независимых решений, можно записать

и

где скаляры.

Как и в случае уравнения Шрёдингера, есть ряд соотношений между различными коэффициентами Эти коэффициенты определяются через вронскианы следующим образом:

Так как и аналогичное соотношение нмеет место для мы получаем

Для совместности как (2.11.19), так и (2.11.20) нужно, чтобы

Линейные комбинации в (2.11.19) н (2.11.20) можно интерпретировать как задачи рассеяния подобно случаю уравнения Шрёдингера. Рассмотрим детально (2.11.19а). Из определений видно, что (2.11.19а) является решением, которое сводится к когда и с использованием определения сводится к при х, стремящемся к Во временной области член представляет -функцию положительных частиц, уходящих на Член представляет поток отрицательных частиц, уходящих на падающий поток положительных частиц. Единичный поток (т. е. -функция) положительных частиц из получается при делении (2.11.19а) на Тогда, как и для уравнения Шрёдингера, коэффициенты отражения и прохождения суть

Соотношение сводится к при х, стремящемся к когда х стремится к Поэтому мы можем определить

как коэффициенты отражения и прохождения для единичного потока отрицательных частиц, приходящих из Вследствие (2.11.21) два последних уравнения из (2.11.23) удовлетворяются тождественно. Их можно переписать в виде

Уравнения (2.11.22) и (2.11.23) дают

или

Эти результаты следует сравнить с результатами (2.8.14) и (2.8.15) для уравнения Шрёдингера. Для описанной в начале этого раздела модели видно, что число участвующих в процессе частиц не

няется. Результатом этого является соотношение между коэффициентами, отличающееся от закона сохранения энергии, выраженного формулой (2.8.14).

Полюсы коэффициента прохождения

При определении связанных состояний снова важны полюсы коэффициента прохождения или нули Для задач рассеяния, описываемых уравнением Шредингера с действительным потенциалом, из (2.8.19) было найдено, что все полюсы коэффициента прохождения, находящиеся в верхней полуплоскости, должны лежать на мнимой оси. В данном случае это не обязательно, поскольку, как отмечалось во введении, пара линейных уравнений (2.11.1) эквивалентна уравнению Шредингера с комплексным потенциалом. Однако пока функция в (2.11.1) действительна, ограничение на положение полюсов может быть выведено из приведенного в (2.11.22) соотношения

Чтобы получить это ограничение, вспомним сначала, что фундаментальные решения аналитичны в верхней полуплоскости. Фундаментальные решения входящие в соотношение с также могут быть продолжены в верхнюю полуплоскость. Следовательно, в верхней полуплоскости можно ввести соответствующее продолжение (аналитическое продолжение) соотношения (2.11.29) для действительных k. Продолжение соотношения (2.11.29) в верхнюю полуплоскость, которое на действительной оси сводится к (2.11.29), имеет вид

где Записывая мы видим, что (2.11.30) означает, что Таким образом, нуль означает, что должны обращаться в нуль для обоих наборов аргументов. Этого можно достичь либо при как в случае уравнения Шредингера с действительным потенциалом, либо в случае парных нулей в точках т. е. нулей, расположенных симметрично относительно мнимой оси.

Чтобы найти вычеты в точках нужно снова вычислить Из определения через вронскиан и из того факта, что в нулях находим, что

Этот результат можно переписать с помощью общего соотношения для решений линейных уравнений (2.11.1). Если через обозначить решения системы (2.11.1)

для соответственно, то

Полагая в дифференцируя затем уравнение по наконец, полагая получим

Теперь интегрирование дает

Аналогично, выбирая получим также

С этими результатами можно, наконец, из (2.11.31) получить Имеем

Так как можно использовать (2.11.19), чтобы получить соотношения

Так как для чисто мнимых четыре решения являются чисто действительными, то постоянные также чисто действительны. Для двух нулей симметрично расположенных относительно мнимой оси, так что постоянные связаны соотношением

Это следует из того, что удовлетворяет уравнению

как показывает исключение из (2.11.17). Для действительных это уравнение не меняется, если заменить на — и взять комплексно-сопряженное уравнение. Поэтому Из первого уравнений (2.11.17) видно, что также обладает этим свойством. Теперь соотношение между следует из (2.11.37а).

Пример

Известно много потенциалов, для которых уравнение Шрёдингера может быть решено аналитически (см., например, [17]). Не так легко привести перечень функций, для которых можно аналитически решить систему линейных уравнений (2.11.1). Важный класс функций, для которых можно решить эти линейные уравнения, будет получен позднее методом обратной задачи рассеяния. В качестве простого примера, предваряющего эти результаты, можно следовать методу, разработанному Баргманом для уравнения Шрёдингера и изложенному в разд. 1.3. Мы ищем решение (2.11.1) в виде

Так как здесь нет члена, пропорционального мы ожидаем, что найденный потенциал будет безотражательным. Уравнения (2.11.1) приводит к соотношениям

Исключая и из первого и третьего из этих уравнений и затем интегрируя, получим где постоянная интегрирования. Из первого и второго уравнений находим также, что Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.3.5), тому же самому нелинейному уравнению первого порядка, которому удовлетворяет функция введенная при решении уравнения Шрёдингера. Снова решение можно записать в виде

где

и снова Тогда

Таким образом, мы получаем

Достаточно будет рассмотреть случай Функции также легко определить. Из (2.11.40) находим, что фундаментальное решение (2.11.1) имеет вид

Повторяя предыдущие вычисления с

находим, что Теперь фундаментальное решение имеет вид

Из вронскиана для находим, что

обращается в нуль при Мы находим также, что так что потенциал, как и ожидалось, является безотражательным. Локализованные решения имеют вид

Из (2.11.37) видно, что нормировочные постоянные имеют вид

где верхний и нижний знаки отвечают соответственно верхнему и нижнему знаку у функции даваемой соотношением (2.11.45).

(см. скан)

(см. скан)

Асимптотическое решение

Для системы Захарова — Шабата (2.11.1) можно получить асимптотическое решение, аналогичное тому, которое было получено в разд. 2.8 для уравнения Шрёдингера. Комбинируя уравнения Захарова — Шабата, получим уравнение второго порядка для

Если считать решением даваемым формулой (2.11.15), то можно записать

Из (2.11.52) находим, что уравнение, которому удовлетворяет А, имеет вид

Если разложение

подставить в (2.11.54), то получим и

Несколько первых коэффициентов имеют вид

«Обрезанные» потенциалы

Можно расширить область потенциалов, для которых задача Захарова — Шабата решается аналитически, рассматривая «обрезанные» потенциалы. Вычисления подобны тем, которые были проведены для уравнения Шрёдингера в разд. 2.9. Рассмотрим детально случай потенциала, «обрезанного» слева. Тогда

и из (2.11.15) и (2.11.17) мы находим, что в области фундаментальные решения имеют вид

Для фундаментальные решения имеют вид

Эти решения должны быть непрерывны при переходе через

Теперь связанные с этим «обрезанным» потенциалом коэффициенты получаются из (2.11.23). Мы находим, что

Фундаментальные решения для потенциала и были приведены в формулах (2.11.46) и (2.11.48). Можно теперь эти предварительные результаты использовать для определения коэффициентов в случае «обрезанного» потенциала Мы получаем

При к коэффициент прохождения имеет полюс. При он лежит в верхней полуплоскости для а для на действительной оси k. Отметим, что этот результат отличается от -результата, полученного для уравнения Шрёдингера с действительным потенциалом. Там было найдено,

что полюс никогда не может лежать на действительной оси всегда есть полюс в верхней полуплоскости, сколь малым бы ни был отрицательный потенциал.