7.2. ДВИЖЕНИЕ НИТИ

Смещение радиуса-вектора вдоль нити дает единичный вектор, касательный к кривой; таким образом,

Как показано в элементарных изложениях теории кривых (134], с. 16; [105], с. 29; [52], с. 278), касательный вектор и векторы и удовлетворяют уравнениям Серре — Френе

где кривизна, кручение кривой, а индекс означает дифференцирование по длине кривой. Если хит заданы в каждой точке кривой, то ее форма (с точностью до положения в пространстве) определяется единственным образом.

Мы сейчас будем следовать изложению работы [51] и покажем, что комплексная величина содержащая как х, так и (и, таким образом, полностью определяющая форму нити), удовлетворяет уравнению

которое может быть преобразовано с помощью подстановки в кубическое уравнение Шрёдингера (5.3.1).

Нас особенно интересует именно связь уравнений Серре — Френе (7.2.2) с кубическим уравнением Шрёдингера, поскольку известно, что уравнения Серре-Френе эквивалентны уравнению Риккати ([34], с. 25). Мы уже видели в разд. 2.12, как можно преобразовать уравнение Риккати и получить линейные уравнения того типа, которые использовались при решении нелинейных эволюционных уравнений методами обратной задачи рассеяния. Поэтому в данной задаче эти уравнения появятся естественным образом.

Чтобы увидеть, откуда берется комплексная величина, удовлетворяющая уравнению Шрёдингера, запишем сначала два последних уравнения Серре — Френе (7.2.2) в комплексной форме

Вводя

получим

вместо (7.2.4), а первое из уравнений (7.2.2) можно записать в виде

Звездочка означает комплексно-сопряженную величину.

Получим теперь уравнения производных по времени от Из определения имеем

Так как

то производная касательного вектора по времени равна

В общем случае производная по времени от представляет собой линейную комбинацию Поэтому можно записать

где должны быть найдены. Из определения и ортогональности векторов легко находим, что

Подсчитывая произведения (7.2.12) на получим

а также

Таким образом, получаем

и, следовательно, находим, что -чисто мнимая величина. Положим а где действительно. Наконец, так как то

или Итак, мы окончательно получаем

Производная по времени от (7.2.7) и по от (7.2.18) дают

Приравнивая компоненты этих двух выражений, находим, что или

где появляется в результате интегрирования и

Комбинируя эти результаты, получим уравнение

которое можно привести к кубическому уравнению Шрёдингера (5.3.1) с помощью преобразования

Односолитонное решение этого уравнения было дано в (5.3.13). Рассмотрим физический смысл этого решения в данном контексте. Сравнение этого решения с (7.2.6) и (7.2.24) показывает, что

Таким образом, решение представляет собой спиральную кривую с постоянным кручением и кривизной х, уменьшающейся от максимального значения в точке до при Эта единичная петля спирального движения перемещается вдоль

вихревой линии со скоростью Итак, порядок длины возмущения На рис. 7.2 показан пример с

Рис. 7.2. (а) Форма вихревой нити, соответствующая односолитонному решению кубического уравнения Шрёдингера, Проекция кривой на плоскость Проекция кривой на плоскость (С разрешения Американского физического института.)

Дополнительные рисунки приведены в работе [51].