6.3. ИОННО-ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ И УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

Рассмотрим ионно-звуковые волны, т. е. флуктуации плотности ионов в двухкомпонентной плазме. В простой физической интерпретации, ионы являются носителями низкочастотных флуктуаций плотности и скорости вблизи ионной плазменной частоты, а электроны, следуя за движением ионов, сохраняют приближенную нейтральность локального заряда. Высокочастотными флуктуациями вблизи электронной плазменной частоты мы пренебрегаем. Основные уравнения имеют следующий вид [103]:

сохранение плотности ионов:

где суть числовая плотность и средняя скорость ионов соответственно;

сохранение количества движения ионов и электронов:

где суть массы электронов и ионов соответственно, заряд электрона, заряд иона.

Предполагается, что электронное давление удовлетворяет уравнению состояния Мы будем рассматривать случай низкой ионной температуры с и положим Таким образом, подразумевается, что соответствующее уравнение состояния ионов имеет вид Электрическое поле устанавливающееся вследствие неполной нейтральности локального заряда, удовлетворяет уравнению

Ток в плазме определяется соотношением

Мы будем рассматривать только случай отсутствия токов в плазме, следовательно, Производная по времени от (6.3.4) с использованием (6.3.2) дает

где мы пренебрегаем членом много меньшим единицы

Введем теперь безразмерные переменные где дебаевский радиус электронного экранирования и ионная плазменная частота [103]. Для случая пространственного изменения только в направлении х система сводится к следующей:

Прежде чем приступить к анализу возмущений системы (6.3.6), заметим сначала, что в пределе полной нейтральности заряда уравнения (6.3.6b) и (6.3.6с) дают

Теперь именно это уравнение и уравнение (6.3.6а) полностью описывают движение ионов. Решения этой пары уравнений, как известно, характеризуются возрастанием крутизны фронта импульса и в конечном итоге образованием ударной волны ([110], разд. 6.1). Кроме того, из (6.3.7) и линеаризованной формы (6.3.6а) мы находим, что моды Фурье для плотности и скорости в виде

могут существовать только в том случае, когда Таким образом, отношение являющееся фазовой скоростью волн в (6.3.8), в линейном пределе не зависит от частоты. Следовательно, в этом пределе волны являются недиспергирующими.

Сейчас мы вернемся к полной системе четырех уравнений (6.3.6). Как показано ниже, линейный вариант этих уравнений приводит теперь к распространению волн с дисперсией. Кроме того, вместо образования ударной волны может появиться симметричный стационарный профиль плотности (односолитонное решение уравнения Кортевега —де Фриза). Мы снова, следовательно, находим, что образование солитонов можно рассматривать как результат баланса между укрученнем импульса благодаря нелинейным эффектам и его расплыванием вследствие дисперсии.

Если моды Фурье (6.3.8), а также выражения

подставить в линеаризованный вариант уравнений (6.3.6), получится дисперсионное соотношение

Для со можно пользоваться приближенным соотношением Тогда фазовый член в каждой из экспонент примет вид Как и в разд. 1.4, удобно ввести новые независимые переменные, включающие этот эффект дисперсии. Более детально этот вопрос будет рассматриваться в разд. 6.5. Полагая находим, что система

(6.3.6а)-(6.3.6d) принимает вид

Введем теперь разложения теории возмущений

То, что главные члены в разложения должны иметь данную зависимость от , очевидно из уравнении (6.3.11с) и (6.3.11b) соответственно. Теперь определим два вклада самого низкого порядка в (6.3.11). Уравнения самого низкого порядка имеют вид

из них следует, что Так как ниже будут рассматриваться только стационарные решения, произвольной функцией от мы пренебрегаем. В следующем порядке находим

Из этих уравнений легко получить уравнение для Мы приходим к уравнению Кортевега — де Фриза

Вспоминая, что и возвращаясь к размерным переменным, получим стационарное решение

где Имеем также Из этих соотношений снова получаем стандартные результаты теории солитонов — ширина солитона уменьшается с ростом а скорость солитона V растет с ростом Было получено экспериментальное подтверждение этих результатов, а также распада импульса, подобного тому, который изображен на рис. 1.2 [58].