7.4. ДРУГИЕ СОЛИТОННЫЕ УРАВНЕНИЯ

Предыдущий пример привел к кубическому уравнению Шрёдингера благодаря конкретному выражению скорости изменения радиуса-вектора, а именно Это конкретное движение привело в свою очередь к соотношению Если не выбирать скорость специальным образом, а просто взять обшее выражение вида

то повторение вычислений, приводящих к (7.2.18), показывает, что мы должны потребовать где у — коэффициент при в (7.2.12). По-прежнему справедливы и другие ранее полученные результаты, а именно Если снова приравнять две смешанные вторые производные от мы найдем, что

В примере, который привел к кубическому уравнению Шрёдингера, мы получили Это соотношение дало интегрируемое выражение для Предполагая другие интегрируемые формы для у, можно с движением неплоских кривых связать другие эволюционные уравнения. Рассмотрим уравнение, которое следует из выбора

где действительная функция, а — действительные постоянные. Это более общее выражение для снова легко интегрируется, и мы получаем

Тогда эволюционное уравнение (7.4.2а) имеет вид

Теперь сосредоточим внимание на эволюционных уравнениях, содержащих только и производные от поэтому мы должны исключить из (7.4.5) член Это легко сделать, полагая и требуя, чтобы Тогда, поскольку действительно, интегрирование этого соотношения дает

где с — действительная постоянная. Теперь уравнение для принимает вид

Это эволюционное уравнение и связанные с ним линейные уравнения приводятся в соответствие со стандартным видом заменой Получившееся уравнение для и содержит члены с Коэффициенты при этих членах суть соответственно. Таким образом, эволюционное уравнение упрощается, если мы выберем таким образом, чтобы этих членов не было. Для этого нужно, чтобы

Тогда эволюционное уравнение имеет вид

где Зал и Видно, что коэффициенты удовлетворяют соотношению Эволюционное уравнение (7.4.10) с этим ограничением на коэффициенты называется уравнением Хироты [53]. При (т. е. при ) оно сводится к кубическому уравнению Шрёдингера, а при (т. е. при ) к модифицированному уравнению Кортевега — де Фриза.

Линейные уравнения, связанные с уравнением Хироты, можно получить, следуя процедуре, использованной в разд. 7.3. Сначала линейные векторные уравнения преобразуются в уравнение Риккати, как при получении (7.3.8), а затем это уравнение Риккати преобразуется к стандартным линейным уравнениям Захарова — Шабата для обратной задачи рассеяния, как в разд. 2.12. Линейные векторные уравнения имеют вид

и

Каждая из трех компонент (7.4.11) и (7.4.12) обладает первым интегралом вида где теперь одна из трех компонент и аналогично для Если положить и записать первый интеграл в виде то

найдем, что функции

и

удовлетворяют уравнениям Риккати

Процедура здесь та же, которая использовалась при получении уравнения Риккати (7.3.8).

Если положить и следовать процедуре, примененной в разд. 2.12, мы получим линейные уравнения

и

Использованные при получении (7.4.10) подстановки а также дают линейные уравнения стандартного вида. В частности, при находим, что

и

где

При вновь получаем уравнение Шрёдингера (5.3.1) и связанные с ним линейные уравнения (5.3.5), а для действительного модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза (5.1.7) и соответствующие линейные уравнения (5.1.9).

С помощью описанного здесь в общих чертах метода можно также получить уравнение sine-Gordon. При рассмотрении кривых постоянной кривизны получим, что где Если вместо (7.4.3) использовать также то дает Кроме того, (7.4.2а) сводится к и поэтому удовлетворяет уравнению sine-Gordon в виде

Поучительно также рассмотреть этот пример, не используя комплексных обозначений. Так как триада единичных векторов и 1 движется как твердое тело, то зависимость этих векторов от времени может быть записана в виде [45]

где Возможна также соответствующая векторная форма уравнений Серре — Френе. Мы можем записать и так далее, где вектор Дарбу,

Приравнивая смешанные производные получим

Если рассматривать кривые постоянной кривизны, а также принять мы найдем, что можно проинтегрировать первое и третье из уравнений (7.4.22) и получить Теперь второе из уравнений (7.4.22) принимает вид

Дальнейшее развитие этих геометрических соображений было выполнено Лакшмананом [76] и Рейтером [95].

Распространение когерентного оптического импульса

Богатым источником задач о распространении нелинейных волн служит взаимодействие интенсивного светового излучения с различными видами вещества. Чтобы выделить многочисленные типы явлений, могущих иметь место, были предложены различные модели атомной среды. В частности, если частота световой волиы почти точно равна частоте перехода между двумя заселенными

энергетическими уровнями атомов вещества, то между светом и веществом может присходить сильное резонансное взаимодействие.

При теоретическом описании этого резонанса часто можно пренебречь всеми другими энергетическими уровнями атомов и рассматривать взаимодействие света с так называемым двухуровневым атомом. Квантовая теория двухуровневого атома относительно проста, а рассмотрение световой волны в рамках классической электродинамики дает дополнительное упрощение. Такое допущение оправдывается изучением почти всех проявлений взаимодействия интенсивных световых пучков с атомами. В рамках этих упрощений можно полностью рассмотреть резонансное взаимодействие интенсивного света с веществом.

Рис. 7.3. Схема эксперимента по распространению оптических импульсов.

Как мы увидим, определяющие уравнения этой теоретической модели приводят к еще одной ситуации, в которой могут появиться солитоны.

Интенсивное исследование сильного резонанса привело к наблюдению солитонного поведения как в экспериментах, так и при численном решении определяющих уравнений (Мак-Колл и Хан [82]). Дополнительные результаты были получены в работах [92] и [44]. Эффект называется самоиндуцированной прозрачностью.

На рис. 7.3 показана блок-схема типичной экспериментальной установки. Световой импульс заранее заданной формы входит в область, содержащую двухуровневые атомы. Мы предположим, что средой является газ, хотя некоторые эксперименты были проведены на твердых телах. Зададимся вопросом, какова форма этого импульса после прохождения через среду при появлении его на другом конце. Мы увидим, что огибающая световой волны может вести себя как солитон.

Теоретическая модель этого процесса особенно интересна, поскольку она дает не только нелинейные эволюционные уравнения, обладающие солитонными свойствами, но и линейные уравнения,

решения которых получаются методами обратной задачи рассеяния. Таким образом, нам не нужно вводить независимо линейные уравнения, хотя это можно сделать, что привело бы к линейным уравнениям, несколько более общим, чем те, которые вводились из физических соображений.

Конечно, все теоретические модели имеют свои ограничения, и в данном случае одним из недостатков модели является отсутствие вырожденных уровней. Хотя было найдено, что численные решения уравнений, получающихся при включении в них вырожденных уровней, обнаруживают интересные солитоноподобные явления [32], эти уравнения еще не были решены никакими аналитическими методами. Все же они будут бегло рассмотрены в разд. 7.13.