Главная > Введение в теорию солитонов
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

3.5. ПОТЕНЦИАЛЫ БАРГМАНА

В двух предыдущих разделах мы рассмотрели, как методом обратной задачи рассеяния можно построить потенциал, зная только коэффициент отражения (в случае отталкивающего потенциала) или (в случае притягивающих потенциалов) зная коэффициент отражения и располагая некоторой информацией о связанных состояниях (уровнях энергии и нормировочных постоянных). В данном разделе мы рассмотрим более простой метод построения некоторых потенциалов (с нулевым коэффициентом отражения). Применение этого метода к радиальному уравнению Шрёдингера (Баргман, 1949 [11]) предшествовало открытию метода обратной задачи рассеяния. Именно результаты, полученные методом Баргмана, дали толчок развитию более полного метода обратной задачи рассеяния. Метод был уже введен в гл. 1, где линейный и квадратичный потенциалы Баргмана были соотнесены с одно- и двухсолитонными решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Сейчас мы рассмотрим метод более детально, особенно для случая квадратичного потенциала. В этом примере мы найдем, что уровни энергии, связанные с этими решениями, зависят только от двух параметров, в то время как форма потенциала характеризуется четырьмя параметрами. Форма потенциала может, таким образом, непрерывно деформироваться, а собственные значения остаются

постоянными, и то, что это может иметь место, является решающим фактом, позволяющим использовать теорию обратной задачи рассеяния в теории нестационарного распространения импульса.

Подход Баргмана состоит в рассмотрении решений радиального уравнения Шрёдингера в виде функции умноженной на полином от k. В нашей версии метода вводятся фундаментальные решения вида

где функции суть полиномы от k. Будут рассматриваться только случаи линейных и квадратичных полиномов. Так как решения предполагаемого вида содержат только ожидается, что полученный потенциал будет безотражательным. Из соотношений (2.8.7), которые связывают фундаментальные решения, видно, что

Так как получаем

Линейный случай

Простейшим случаем является линейный, более или менее подробно рассмотренный в гл. 1. Фундаментальные решения имеют вид

Подстановка в уравнение Шрёдингера показывает, что и Из (3.5.2) находим, что

В гл. 1 было показано, что где постоянные интегрирования. Таким образом, нулем функции является точка Положение полюса зависит, таким образом, только от в то время как потенциал зависит как от так и от . В этом линейном случае лишняя степень свободы, связанная с формой потенциала, приводит просто к смещению потенциала вдоль оси х.

Квадратичный случай

В квадратичном случае оказывается, что потенциал зависит от четырех параметров, причем только два из этнх параметров связаны с расположением собственных значений. Тогда при изменении двух добавочных независимых параметров потенциал может деформироваться непрерывным образом. Как указывалось в гл. 1, эта деформация приводит к решению, которое можно использовать для описания взаимодействия двух солитонов. Сейчас мы рассмотрим подробнее это квадратичное решение. Вводя фундаментальные решения

и подставляя их в уравнение Шрёдингера, мы находим, что и

Мы находим также, что

Комбинируя (3.5.8) и (3.5.9) и интегрируя, получаем

где постоянная интегрирования. Интегрирование дает

где вторая постоянная интегрирования. Снова вводя функцию с помощью определения мы получим из (3.5.11), что

Теперь уравнение (3.5.12) принимает вид

и после дифференцирования сводится к много более простому линейному уравнению

Это уравнение имеет решения вида где

Обозначая корни через откуда следует

мы находим, что может быть записано в виде

Требование, чтобы удовлетворяло уравнению третьего порядка (3.5.14), налагает связь на эти четыре постоянные интегрирования. Подставляя в (3.5.14), находим, что

Этому условию можно удовлетворить, полагая Тогда выражение (3.5.18) сводится к цитированному в гл. 1 результату, а именно

где

Из (3.5.2) имеем

Таким образом, нули зависят только от двух параметров, в то время как потенциал зависит от четырех. Чтобы детальнее рассмотреть это, отметим, что мы анализируем случай при Кроме того, в этом пределе Аналогично, при Таким образом, положение нулей зависит от двух параметров в то время как потенциал зависит также от Возможно непрерывное изменение параметров следовательно, формы потенциала без изменения двух собственных значений уравнения Шрёдингера.

1
Оглавление
email@scask.ru