Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3.5. ПОТЕНЦИАЛЫ БАРГМАНАВ двух предыдущих разделах мы рассмотрели, как методом обратной задачи рассеяния можно построить потенциал, зная только коэффициент отражения (в случае отталкивающего потенциала) или (в случае притягивающих потенциалов) зная коэффициент отражения и располагая некоторой информацией о связанных состояниях (уровнях энергии и нормировочных постоянных). В данном разделе мы рассмотрим более простой метод построения некоторых потенциалов (с нулевым коэффициентом отражения). Применение этого метода к радиальному уравнению Шрёдингера (Баргман, 1949 [11]) предшествовало открытию метода обратной задачи рассеяния. Именно результаты, полученные методом Баргмана, дали толчок развитию более полного метода обратной задачи рассеяния. Метод был уже введен в гл. 1, где линейный и квадратичный потенциалы Баргмана были соотнесены с одно- и двухсолитонными решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Сейчас мы рассмотрим метод более детально, особенно для случая квадратичного потенциала. В этом примере мы найдем, что уровни энергии, связанные с этими решениями, зависят только от двух параметров, в то время как форма потенциала характеризуется четырьмя параметрами. Форма потенциала может, таким образом, непрерывно деформироваться, а собственные значения остаются постоянными, и то, что это может иметь место, является решающим фактом, позволяющим использовать теорию обратной задачи рассеяния в теории нестационарного распространения импульса. Подход Баргмана состоит в рассмотрении решений радиального уравнения Шрёдингера в виде функции
где функции
Так как
Линейный случайПростейшим случаем является линейный, более или менее подробно рассмотренный в гл. 1. Фундаментальные решения имеют вид
Подстановка в уравнение Шрёдингера показывает, что и
В гл. 1 было показано, что Квадратичный случайВ квадратичном случае оказывается, что потенциал зависит от четырех параметров, причем только два из этнх параметров связаны с расположением собственных значений. Тогда при изменении двух добавочных независимых параметров потенциал может деформироваться непрерывным образом. Как указывалось в гл. 1, эта деформация приводит к решению, которое можно использовать для описания взаимодействия двух солитонов. Сейчас мы рассмотрим подробнее это квадратичное решение. Вводя фундаментальные решения
и подставляя их в уравнение Шрёдингера, мы находим, что
Мы находим также, что
где
где
Теперь уравнение (3.5.12) принимает вид
и после дифференцирования сводится к много более простому линейному уравнению
Это уравнение имеет решения вида
Обозначая корни через
мы находим, что
Требование, чтобы
Этому условию можно удовлетворить, полагая
где Из (3.5.2) имеем
Таким образом, нули
|
1 |
Оглавление
|