3.5. ПОТЕНЦИАЛЫ БАРГМАНА

В двух предыдущих разделах мы рассмотрели, как методом обратной задачи рассеяния можно построить потенциал, зная только коэффициент отражения (в случае отталкивающего потенциала) или (в случае притягивающих потенциалов) зная коэффициент отражения и располагая некоторой информацией о связанных состояниях (уровнях энергии и нормировочных постоянных). В данном разделе мы рассмотрим более простой метод построения некоторых потенциалов (с нулевым коэффициентом отражения). Применение этого метода к радиальному уравнению Шрёдингера (Баргман, 1949 [11]) предшествовало открытию метода обратной задачи рассеяния. Именно результаты, полученные методом Баргмана, дали толчок развитию более полного метода обратной задачи рассеяния. Метод был уже введен в гл. 1, где линейный и квадратичный потенциалы Баргмана были соотнесены с одно- и двухсолитонными решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Сейчас мы рассмотрим метод более детально, особенно для случая квадратичного потенциала. В этом примере мы найдем, что уровни энергии, связанные с этими решениями, зависят только от двух параметров, в то время как форма потенциала характеризуется четырьмя параметрами. Форма потенциала может, таким образом, непрерывно деформироваться, а собственные значения остаются

постоянными, и то, что это может иметь место, является решающим фактом, позволяющим использовать теорию обратной задачи рассеяния в теории нестационарного распространения импульса.

Подход Баргмана состоит в рассмотрении решений радиального уравнения Шрёдингера в виде функции умноженной на полином от k. В нашей версии метода вводятся фундаментальные решения вида

где функции суть полиномы от k. Будут рассматриваться только случаи линейных и квадратичных полиномов. Так как решения предполагаемого вида содержат только ожидается, что полученный потенциал будет безотражательным. Из соотношений (2.8.7), которые связывают фундаментальные решения, видно, что

Так как получаем

Линейный случай

Простейшим случаем является линейный, более или менее подробно рассмотренный в гл. 1. Фундаментальные решения имеют вид

Подстановка в уравнение Шрёдингера показывает, что и Из (3.5.2) находим, что

В гл. 1 было показано, что где постоянные интегрирования. Таким образом, нулем функции является точка Положение полюса зависит, таким образом, только от в то время как потенциал зависит как от так и от . В этом линейном случае лишняя степень свободы, связанная с формой потенциала, приводит просто к смещению потенциала вдоль оси х.

Квадратичный случай

В квадратичном случае оказывается, что потенциал зависит от четырех параметров, причем только два из этнх параметров связаны с расположением собственных значений. Тогда при изменении двух добавочных независимых параметров потенциал может деформироваться непрерывным образом. Как указывалось в гл. 1, эта деформация приводит к решению, которое можно использовать для описания взаимодействия двух солитонов. Сейчас мы рассмотрим подробнее это квадратичное решение. Вводя фундаментальные решения

и подставляя их в уравнение Шрёдингера, мы находим, что и

Мы находим также, что

Комбинируя (3.5.8) и (3.5.9) и интегрируя, получаем

где постоянная интегрирования. Интегрирование дает

где вторая постоянная интегрирования. Снова вводя функцию с помощью определения мы получим из (3.5.11), что

Теперь уравнение (3.5.12) принимает вид

и после дифференцирования сводится к много более простому линейному уравнению

Это уравнение имеет решения вида где

Обозначая корни через откуда следует

мы находим, что может быть записано в виде

Требование, чтобы удовлетворяло уравнению третьего порядка (3.5.14), налагает связь на эти четыре постоянные интегрирования. Подставляя в (3.5.14), находим, что

Этому условию можно удовлетворить, полагая Тогда выражение (3.5.18) сводится к цитированному в гл. 1 результату, а именно

где

Из (3.5.2) имеем

Таким образом, нули зависят только от двух параметров, в то время как потенциал зависит от четырех. Чтобы детальнее рассмотреть это, отметим, что мы анализируем случай при Кроме того, в этом пределе Аналогично, при Таким образом, положение нулей зависит от двух параметров в то время как потенциал зависит также от Возможно непрерывное изменение параметров следовательно, формы потенциала без изменения двух собственных значений уравнения Шрёдингера.