6.5. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ РАЗЛОЖЕНИЯ

Мы встретились с рядом примеров, в которых эволюционное уравнение было получено после замены переменных вида

где и для постоянных выбраны некоторые значения. Сейчас мы рассмотрим простой пример, который должен помочь выяснить связь между постоянными и получающимся эволюционным уравнением. Будем следовать методу, изложенному в работе и Гарднера [106].

В качестве простого примера, который в соответствующих пределах может приводить к одному из двух нелинейных эволюционных уравнений, рассмотрим вычисления разд. 6.3, связанные с ионно-звуковыми волнами, учтя при этом вязкость. Если в описание движения иоиов включить (объемную) вязкость, член давления в первом из уравнений (6.3.2) заменится на (Уизем [117]). Снова предполагаем малость ионной температуры, так что Вводя безразмерные переменные, использованные в разд. 6.3, найдем что уравнение сохранения количества движения ионов принимает вид

где Чтобы понять смысл параметра можно записать как массовую плотность и заменить

характеристической скоростью тогда имеем

В динамике жидкости величина, обратная этому отношению, называется числом Рейнольдса [12].

Чтобы переписать четыре уравнения (6.3.6) в общем виде, рассмотренном и Гарднером, введем сначала потенциальную функцию Полагая в равновесном состоянии, где можно проинтегрировать и получить Теперь запишем в виде

Соотношения (6.3.6а) и (6.5.2), выражающие сохранение массы и количества движения, можно объединить в уравнение

где

Подлежащие анализу четыре уравнения — это уравнения (6.3.6а) и (6.5.5) вместе с (6.5.4) и (6.5.6).

Введем теперь разложения теории возмущений

и рассмотрим сначала только линеаризованные уравнения. Тогда сохранение массы и количества движения выражается соответственно уравнениями

Хотя данное в (6.3.6) точное линеаризованное соотношение между имеет вид мы рассмотрим метод возмущения, в котором нелинейность, диссипация и дисперсия (два последних эффекта выражаются членами с производными вроде рассматриваются как возмущения. Таким образом, мы предполагаем наличие линейного соотношения между т. е. просто Мы увидим далее, что после введения преобразования координат (6.5.1) член действительно войдет как поправка более высокого порядка. Теперь мы найдем, что удовлетворяет линейному волновому уравнению и аналогично

Сосредоточим внимание на решениях для типа бегущих волн и положим

Теперь рассмотрим метод возмущений для учета модификации решения, вызванной наличием нелинейностей, диссипации и дисперсии. Предположим, что решение медленно меняется в системе координат, движущейся со скоростью волны с (которая в этом примере равна единице), и что является функцией переменных введенных в (6.5.1). Тогда производные связаны соотношениями

и уравнения сохранения массы и количества движения преобразуются соответственно в уравнения

Таким образом, разложение по возмущениям будет вестись по целочисленным степеням если положить Теперь можно выписать четыре уравнения, подлежащие исследованию:

Уравнения первого порядка имеют вид

После интегрирования первых двух соотношений имеем Произвольная функция от тут отброшена, так как нас интересуют только те импульсные решения, которые при обращаются в нуль. Если в уравнениях для величин второго порядка использовать равенства для величин первого порядка, мы получим

Теперь из этих уравнений легко получить одно уравнение, содержащее только Оно имеет вид

Поэтому при учете вязкости, т. е. при вклад самого низкого порядка получается для Тогда член с третьей производной имеет более высокий порядок, и мы им пренебрегаем. В этом случае плотность удовлетворяет уравнению

называемому уравнением Бюргерса (Уизем [117]). Хотя у него нет солитонных решений, это нелинейное эволюционное уравнение обладает интересной историей, и оно будет снова кратко рассмотрено в гл. 8.

С другой стороны, если пренебречь эффектами вязкости, т. е. считать, что то поправка самого низкого порядка в (6.5.15) получается в случае Тогда

а это есть уравнение Кортевега — де Фриза. В обоих случаях мы видим, что если пренебречь нелинейностью и диссипацией или дисперсией, то восстанавливается невозмущенное решение, так как тогда мы получим так что как в (6.5.9).

Более общий матричный вариант использованного здесь метода можно найти в работах [108] и [78].