9.2. ВОЗМУЩЕНИЕ ОДНОСОЛИТОННОГО РЕШЕНИЯ

Фундаментальные решения, связанные с невозмущенным единичным солитоном, являются решениями уравнения

с Теперь зависимость параметров солитона от времени определяется возмущением Из упр. 4 гл. 3 имеем

Кроме того, так как в общем случае возмущенное решение не будет безотражательным, мы ожидаем, что возмущение приведет к возбуждению непрерывного спектра волн.

Возмущение параметров связанного состояния

Для полюса при имеем

и, таким образом,

Возмущение собственного значения получается из (9.1.13), которое принимает вид

Зависимость фазового члена от времени поручается из зависимости от времени и соотношения (9.2.4). Используем сначала (9.2.2) и получим

Тогда (9.1.14) вместе с соотношением которое следует из (9.2.4), дает

Мы положили также, что так как

В качестве примера использования этих результатов рассмотрим влияние затухания на односолнтонное решение. Положим для

этого Соотношение приводит (9.2.5) к виду или

Так как х пропорционально как амплитуде, так и обратной ширине солитона, мы определили скорость, с которой солитон расплывается затухает с ростом времени.

Так как подынтегральное выражение в (9.2.7) — нечетная функция, мы имеем Интегрирование дает

где дается выражением (9.2.8). Отметим, что при мы восстанавливаем результат для невозмущенного солитона,

Возмущения в непрерывном спектре

Мы можем ожидать, что решение уравнения Кортевега — де Фриза, являющееся возмущением односолитонного решения, будет иметь вид

где зависимость от времени была получена выше, а член и появляется вследствие возбуждения непрерывного спектра. Для получения бы можно вернуться к уравнению Марченко (3.2.7)

где для единичного солитона 00

Теперь мы положим где обозначают второй и первый члены в выражении (9.2.12) соответственно. .Если мы запишем также и в интеграле в уравнении Марченко пренебрежем произведением более высокого порядка мы найдем

где

Из упр. 4 гл. 3 имеем

Решаем уравнение (9.2.13) относительно и используем соотношение

Чтобы получить умножим сначала (9.2.13) на и проинтегрируем от х до Это дает

Затем, используя определение , имеем

Член можно выразить через Используя в (9.2.10) выражение и определение

находим, что

Тогда согласно записывается в виде

Замечая, что

можно использовать и (9.2.21) и получить окончательный результат

Решая (9.1.12), нужно определить отношение с точностью до первого порядка по В правой части этого уравнения мы используем выражение нулевого порядка и вместо его представление (9.2.26). Находим, что

Для рассмотренного выше примера, а именно имеем

где даются формулами (9.2.8) и (9.2.9) соответственно,

Этот интеграл может быть записан в виде суммы трех интегралов, где

Интегрируя по частям, легко устанавливаем связь между этими интегралами. Находим, что

Интегрирование уравнения для с зависимостями от времени, даваемыми соотношениями (9.2.8) и (9.2.9), было бы очень сложно. Вместо этого мы предположим, что , и запишем Тогда сразу же определяется, и для начального условия мы находим, что

Следует отметить сначала, что это приближенное выражение для нарушает общий результат полученный в упр. 15 гл. 2. Однако мы найдем, что производная по в (9.2.23) служит для того, чтобы ввести в подынтегральное выражение (9.2.23) дополнительный множитель к и таким образом сделать подынтегральное выражение достаточно нечувствительным к малым значениям к, чтобы предыдущее выражение давало удовлетворительное описание Для более подробного обсуждения этого вопроса читатель может обратиться к результатам Карпмана и Маслова [69].

Чтобы получить приближенный вид мы заметим сначала, что вне окрестности солитона, где вклад за счет возмущения наиболее интересен, можно пренебречь в медленной зависимостью от Далее заметим, что подынтегральное выражение в (9.2.23) быстро осциллирует для больших k. Таким образом, мы полагаем, что доминирующий вклад в подынтегральное выражение будет давать область вблизи Если аппроксимировать амплитуду подынтегрального выражения (9.2.23) в области вблизи как упоминалось выше, при дифференцировании по пренебречь медленной зависимостью от то находим, что

где

и множитель был принят равным единице. Легко понять смысл функции рассматривая сначала производную

где функция Эйри [4]. Из первого выражения (9.2.32) мы видим, что при выражение, содержащее функцию Эйри, превращается в -функцию. Если предположить, что возмущение приведенное в формуле (9.2.30), обращается в нуль при , т.е. далеко позади импульса, то

где -обычная ступенчатая функция. Есть таблицы интегралов от функции Эйри [4]. При функция осциллирует около нуля и при амплитуда достигает 2/3. При она монотонно растет до единицы. Следовательно, функция имеет вид, показанный на рис. 9.1. Таким образом, видно, что член возмущения в уравнении (9.1.1), равный создает плато позади солитона. Этот эффект наблюдался при численных решениях [93].

Рис. 9.1. Шельф позади солитона в решении возмущенного уравнения Кортевега — де Фриза

Только что полученные результаты позволяют понять, какое влияние оказывает возмущение на параметры связанного состояния (солитон) и на непрерывный спектр (плато за солитоном). Указание об относительной величине каждого из этих вкладов в полное решение можно получить, переписывая сначала эволюционное уравнение в виде

Таким образом, площадь локализованного решения должна удовлетворять соотношению

Для односолитонного решения мы иашли, что

Замечая, что, согласно рис. 9.1, площадь под функцией приближенно равна мы находим, что

Таким образом, с точностью до первого порядка по у правая часть уравнения (9.2.34) равна в то время как левая часть сводится к выражению

Таким образом, вклад плато за солитоном в скорость изменения площади под возмущением во времени составляет одну треть общей скорости. Дальнейшее обсуждение этих результатов можно найти в научной литературе, цитируемой в начале этой главы.

Упрощенная процедура

Мы нашли, что возмущение за счет демпфирования очень просто влияет на форму солитонного решения уравнения Кортевега — де Фриза. Можно ожидать, что такой простой результат можно было бы получить и более непосредственным образом. Сейчас мы покажем, как можно использовать энергию, а также другие сохраняющиеся величины для невозмущенного уравнения Кортевега — де Фриза, анализируя затухание солитонного решения при наличии демпфирования.

Для начала заметим, что сохраняющаяся величина приведенная в формулах (2.8.51), пропорциональна энергии, содержащейся в решении уравнения Кортевега — де Фриза. Чтобы показать это, используем описанную в разд. 2.1 процедуру и введем плотность лагранжиана, из которой можно вывести невозмущенное уравнение Кортевега — де Фриза. С этим лагранжианом связана плотность гамильтониана, являющаяся плотностью энергии.

Если принять, что то плотность лагранжиана для уравнения Кортевега — де Фриза (4.1.1) равна

Так как появляется вторая производная, уравнение движения следует из

С вышеприведенным лагранжианом это дает

а это, если снова ввести есть уравнение Кортевега — де Фриза (4.1.1) без затухания.

Плотность гамильтониана равна

Тогда энергия решения равна

Связывая этот результат с мы проинтегрировали по частям и пренебрегли полными производными.

Для невозмущенного уравнения Кортевега — де Фриза Сейчас мы определим энергию уравнения Кортевега — де Фриза с затуханием тем же выражением (9.2.43) и определим, как она меняется с течением времени. Используемая процедура полностью аналогична тон, которая применялась для описания демпфирования механического осциллятора при наличии сопротивления.

Для односолитонного решения мы используем Замечая, что находим

так что

С другой стороны, из (9.2.43) имеем

Так как этот результат уже пропорционален у, мы для вычисления интеграла используем невозмущенные решения и получим Приравнивая два выражения мы имеем ранее полученный результат который приводит к выражению для х, даваемому формулой (9.2.8).

Еще легче получить этот результат, используя сохраняющуюся величину Дальнейшее рассмотрение этого подхода в связи с возмущенным уравнением sine-Gordon можно найти у Мак-Лафлина и Скотта [83].

(см. скан)