1.4. ФИЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА, ПРИВОДЯЩАЯ К УРАВНЕНИЮ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

Можно указать много примеров физических систем, приводящих к уравнению Кортевега — де Фриза; некоторые из них будут описаны в гл. 6. Все они обладают двумя особенностями. Во-первых, им присуща характерная гидродинамическая нелинейность, описываемая членом вида Во-вторых, ограничиваясь рассмотрением лишь возмущений малой амплитуды и пренебрегая вышеупомянутым членом, можно получить одиочастотные

решения с пространственно-временной зависимостью вида При этом имеет место связь между волновым числом к и частотой которая для малых может быть аппроксимирована выражением где постоянные. Фазовая скорость волиы дается соотношением и если мы видим, что постоянно. При волны с различными значениями к будут двигаться с различными скоростями и форма импульса, составленного из спектра таких волн, при распространении будет меняться. В частности, локализованный импульс будет проявлять тенденцию к расплыванию. Можно сказать, что указанное волновое движение обладает дисперсией, и соотношение между о и к называют дисперсионным соотношением задачи.

Рис. 1.4. Солитон на трубе, состоящей из упругих колец.

В этом случае основная часть импульса движется с групповой скоростью где k — среднее значение величин к, составляющих импульс (Уизем, [117] гл. 11). Аналогичные соображения можно применить к эквивалентному соотношению к

К сожалению, все примеры нелинейных диспергирующих сред таковы, что прежде чем получить интересующее нас уравнение, скажем уравнение Кортевега — де Фриза, придется проделать утомительные вычисления, связанные с нахождением возмущений. Не является исключением и рассматриваемая здесь физическая система, хотя, по-видимому, анализ возмущений здесь не приводит к столь длинным вычислениям, как в большинстве других примеров. К тому же соответствующая экспериментальная ситуация в этом случае весьма наглядна. Рассмотрим несжимаемую жидкость в бесконечно длинном круглом цилиндре. Стенки цилиндра составлены из упругих колец, как показано на рис. 1.4. Локальное увеличение давления в жидкости (рассматриваются только продольные изменения давления) вызывает радиально-симметричное растяжение упругих колец в области, где давление повышено. Так как кольца между собой не связаны (но расположены достаточно близко друг к другу, так что жидкость между ними не протекает), упругие волны в осевом направлении вдоль цилиндрической поверхности не распространяются. Такую границу иногда называют локально реагирующей. Движение жидкости описывается уравнениями сохранения массы и количества движения. Если длина каждого кольца вдоль оси мала по сравнению с интересующей нас

длиной, то уравнение сохранения массы может быть записано в виде

где скорость жидкости и А — площадь поперечного сечення цилиндра. Видно, что площадь играет роль, аналогичную роли плотности в сжимаемой жидкости. Для сохранения количества движения можно записать уравнение

где постоянная плотность жидкости и -давление в жидкости. Нужно также получить третье уравнение, связывающее площадь кольца с давлением. Поскольку, как отмечалось выше, площадь аналогична плотности, недостающее уравнение играет роль уравнения состояния.

Рис. 1.5. Силы, действующие на сегмент упругого кольца.

Из рис. 1.5 можно видеть, что применение закона Ньютона к сегменту упругого кольца приводит к уравнению

где — радиус, плотность, а толщина и осевая длина кольца соответственно. Для малых углов можно заменить синус угла его аргументом, а также положить где а — равновесный радиус кольца. Наконец, окружное напряжение в кольце связано с растяжением кольца посредством модуля Юнга обычным соотношением

Замечая, что так что мы находим, что (14.3) можно переписать в виде

Величина является угловой частотой радиальных колебаний кольца [80]. Вводя безразмерные величины с помощью соотношений где получим

Итак, вводя длину и полагая получаем безразмерные уравнения

Сначала исследуем дисперсионное соотношение для линеаризованного варианта системы Линейные уравнения имеют вид

Если допустить, что зависимости функций от координаты и времени имеют вид то система (1.4.9) становится системой однородных алгебраических уравнений для амплитуд и Нетривиальные решения этой системы находятся обычным образом из условия обращения в нуль определителя системы. Мы получаем

что является дисперсионным соотношением данной задачи. Для малых это соотношение можно записать в виде одного из двух приближенных выражений: или

Таким образом, мы получаем те кубические члены, о которых упоминалось ранее. Следует отметить, что самый важный кубический член является следствием упругости цилиндрической стенки. Если бы в уравнении (1.4.5) не было производной по времени, то х было пропорционально Тогда групповая скорость волны равнялась бы единице (в используемых здесь единицах измерения) и не было бы дисперсии.

Если выразить через х, то введенный выше экспоненциальный множитель принимает вид (Можно было бы также рассмотреть этот множитель в случае, когда и

выражается через При разложении нелинейных уравнений методом возмущений полезно в качестве отправного пункта рассмотреть случай линейной дисперсии. Это можно проделать, вводя новые независимые переменные Тогда дифференциальные операторы примут вид

Записывая нелинейные уравнения (1.4.6) — (1.4.8) в переменных и получим

Подставим теперь в систему (1.4.12) разложения теории возмущений

и потребуем, чтобы уравнения удовлетворялись для каждой степени Члены в (1.4.12), пропорциональные к, записываются в виде

откуда мы можем сделать вывод, что где произвольная функция. Члены в (1.4.13), пропорциональные суть

Из этих уравнений легко исключить В результате имеем

С помощью преобразований можно избавиться от двух последних членов этого уравнения. Тогда мы получаем уравнение Кортевега—де Фриза в виде

В результате нашего предыдущего рассмотрения этого уравнения можно ожидать, что в исследуемой физической системе возмущение может распространяться в виде солитона. Из выражения (1.2.12), которое является односолитонным решением уравнения Кортевега — де Фриза стандартного вида (1.2.9), легко находим, что соответствующее решение уравнения (1.4.17) имеет вид

Вернемся теперь к размерным переменным. Рассмотрим, в частности, радиальное смещение колец, так как его можно легко наблюдать. Изменение площади равно Полагая теперь максимум амплитуды солитона равным (т. е. вводя определение получаем

Здесь (которое можно считать полушириной амплитуды солитона) равно

Входящую в (1.4.19) скорость солитона V удобно выразить через скорость низкочастотных линейных воли системы. Мы находим, что

где, как будет показано ниже, Итак, уравнение Кортевега — де Фриза принимает вид

Для рассмотрения низкочастотного предела линейных волн системы мы пренебрежем членом с производной по

времени в уравнении (1.4.5), так что Кроме того, линеаризация (1.4.1) и (1.4.2) дает

и

Исключая из этих двух уравнений получим линейное волновое уравнение

где дается выражением, использованным в (1.4.21).

Из (1.4.21) видно, что при (последнее необходимо для оправдания линеаризации уравнения (1.4.3), примененной при рассмотрении колебаний кольца) скорость солитона несколько больше скорости распространения линейных волн Для отношения плотностей (это соответствует стали и воде) и отношения амплитуды солитона к толщине кольца находим также, что ширина солитона приближенно равна удвоенному диаметру кольца.

Основываясь на простых интуитивных соображениях, можно ожидать, что существует стационарное решение уравнения Кортевега — де Фриза. Это решение (и, таким образом, сам солитон) можно интерпретировать как результат баланса между двумя конкурирующими эффектами. Один из них является результатом нелинейности уравнения. Тип нелинейности таков, что она стремится вызвать укручение и опрокидывание волнового профиля, что происходит всегда при наличии дисперсии.

Чтобы детальнее рассмотреть эту конкуренцию, обратимся к уравнению Кортевега — де Фриза (1.4.22), записанному в системе координат, движущейся со скоростью Тогда имеем

где Стационарное решение имеет вид

Чтобы исследовать влияние нелинейного члена в уравнении (1.4.26), ограничимся лишь рассмотрением простого нелинейного уравнения Член играет роль скорости волны. Так как скорость зависит от самого решения, можно ожидать, что части профиля волны, где скорость и велика, будут двигаться

быстрее, чем части волны вблизи края профиля, где приближается к нулю. Для стационарного решения, данного формулой (1.4.27), самая большая скорость должна соответствовать максимальному значению следовательно, даваться выражением Время требуемое для того, чтобы пик переместился с этой скоростью на расстояние, равное полуширине импульса, и, таким образом, произошло опрокидывание волны, равно если пренебречь числовыми множителями.

Рассмотрим теперь влияние дисперсии в (1.4.26), для чего пренебрежем нелинейным членом. Тогда мы имеем линейное уравнение Оно обладает решениями в виде бегущих волн Самые большие волновые числа к, дающие вклад в импульс ширины приближенно равны Такие волновые числа приведут к изменению фазы на и тем самым вызовут значительную деформацию первоначальной формы волны за время даваемое соотношением т. е. а это величина того же порядка, что и Таким образом, для импульсов с амплитудой, равной амплитуде солитона оба эффекта сравнимы, и неудивительно, что стационарный профнль импульса устанавливается вследствие баланса между этими двумя эффектами.