3.3. БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Безотражательные потенциалы образуют один из классов по теициалов, для которых уравнение Марченко может быть решено полностью. Простейший пример этого класса рассматривался выше в упр. 3. Мы обобщим метод, использованный для решения этого примера, и рассмотрим случай, когда коэффициент отражения, например равен нулю, а коэффициент прохождения имеет полюсов в заданных точках на положительной мнимой оси. Согласно (3.2.8),

где нормировочные постоянные также предполагаются заданными. Уравнение Марченко (3.2.8) удобно решать, введя некоторые -компонентные векторы. Определяя

можно записать

Теперь можно решать уравнение Марченко, записывая неизвестные функции в виде

где функция подлежит определению. Тогда уравнение Марченко принимает вид

где единичная -матрица. Полагая

мы приходим к соотношению

Так как функция не равна нулю и можно менять ее ориентацию, изменяя у, то можно удовлетворить этому уравнению, полагая первый множитель равным нулю. Таким образом,

или

Матрица V всегда имеет обратную [72]. Таким образом, неизвестная функция определяется соотношением

Для получения потенциала нам нужно зиать только Это можно записать в виде

Эквивалентное выражение имеет вид

где означает след матрицы, стоящей в скобках. Легко установить эквивалентность этих выражений для вводя набор единичных векторов с, и записывая производится по повторяющимся индексам. Сразу видно, что оба выражения для сводятся к . Из определения имеем

так что соотношение (3.3.13) может быть записано в виде

где означает определитель матрицы . В последнем равенстве (3.3.15) используется результат матричного исчисления [24], состоящий в том, что если матрицы, такие, что следовательно, то Таким образом,

Теперь для определения потенциала используем (3.1.4) и получим

В качестве примера использования этого результата покажем, что случай приводит к рассмотренному в гл. 1 квадратичному потенциалу Баргмана. Следует отметить, что рассмотренный в упр. 3 случай дает линейный потенциал Баргмана.

Пример: случай N = 2

Чтобы восстановить численный результат для квадратичного Потенциала Баргмана, приведенный в формуле (1.3.25), зададим значения Тогда

и из находим

Определитель матрицы имеет вид

Теперь из (3.3.13) легко получить функцию Полагая находим, что

Последующее дифференцирование и Использование (3.1.4) дают

Если связанные с как показано пише, выбираются таким образом, чтобы этот результат удовлетворял также уравнению Кортевега — де Фриза, получается выражение, приведенное в (1.3.25). Этот пример будет рассмотрен снова в разд. 4.4.