3.3. БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
Безотражательные потенциалы образуют один из классов по теициалов, для которых уравнение Марченко может быть решено полностью. Простейший пример этого класса рассматривался выше в упр. 3. Мы обобщим метод, использованный для решения этого примера, и рассмотрим случай, когда коэффициент отражения, например
равен нулю, а коэффициент прохождения имеет
полюсов в заданных точках
на положительной мнимой оси. Согласно (3.2.8),
где нормировочные постоянные
также предполагаются заданными. Уравнение Марченко (3.2.8) удобно решать, введя некоторые
-компонентные векторы. Определяя
можно записать
Теперь можно решать уравнение Марченко, записывая неизвестные функции
в виде
где функция
подлежит определению. Тогда уравнение Марченко принимает вид
где
единичная
-матрица. Полагая
мы приходим к соотношению
Так как функция
не равна нулю и можно менять ее ориентацию, изменяя у, то можно удовлетворить этому уравнению, полагая первый множитель равным нулю. Таким образом,
или
Матрица V всегда имеет обратную [72]. Таким образом, неизвестная функция
определяется соотношением
Для получения потенциала нам нужно зиать только
Это можно записать в виде
Эквивалентное выражение имеет вид
где
означает след матрицы, стоящей в скобках. Легко установить эквивалентность этих выражений для
вводя набор единичных векторов с, и записывая
производится по повторяющимся индексам. Сразу видно, что оба выражения для
сводятся к
. Из определения
имеем
так что соотношение (3.3.13) может быть записано в виде
где
означает определитель матрицы
. В последнем равенстве (3.3.15) используется результат матричного исчисления [24], состоящий в том, что если
матрицы, такие, что
следовательно,
то
Таким образом,
Теперь для определения потенциала используем (3.1.4) и получим
В качестве примера использования этого результата покажем, что случай
приводит к рассмотренному в гл. 1 квадратичному потенциалу Баргмана. Следует отметить, что рассмотренный в упр. 3 случай
дает линейный потенциал Баргмана.
Пример: случай N = 2
Чтобы восстановить численный результат для квадратичного Потенциала Баргмана, приведенный в формуле (1.3.25), зададим значения
Тогда
и из
находим
Определитель матрицы
имеет вид
Теперь из (3.3.13) легко получить функцию
Полагая
находим, что
Последующее дифференцирование и Использование (3.1.4) дают
Если
связанные с
как показано пише, выбираются таким образом, чтобы этот результат удовлетворял также уравнению Кортевега — де Фриза, получается выражение, приведенное в (1.3.25). Этот пример будет рассмотрен снова в разд. 4.4.