2.9. «ОБРЕЗАННЫЕ» ПОТЕНЦИАЛЫ

Используя некоторые общие результаты, связанные с «обрезанными» потенциалами, можно расширить класс форм потенциалов, приводящих к простым аналитическим результатам. Рассмотрим показанные на рис. 2.5 потенциал и «обрезанный» потенциал

где единичная ступенчатая функция. Если обозначить через фундаментальные решения для потенциала а через и для «обрезанного» потенциала, то из (2.8.3) и (2.8.4) легко видеть, что для

а для

Рис. 2.5. Произвольный потенциал и связанный с ним потенциал обрезанный слева при

Как так и их первые производные по х непрерывны в точке Определяя

и вычисляя вронскиан в точке получим

где

Аналогичным образом находим, что

При стремящемся к мы получим, что это ожидаемые результаты в пределе обращающегося в нуль потенциала. Кроме того, при стремящемся к

можно использовать формулу чтобы выразить через и снова получить ожидаемые результаты Детальнее этот предел будет обсуждаться после того, как мы рассмотрим следующий пример.

Как отмечалось в упр. 16, в случае потенциала уравнение имеет фундаментальное решение Подстановка в предыдущие результаты показывает, что для «обрезанного» потенциала коэффициенты симеют вид

Эти выражения очень полезны для понимания аналитической структуры коэффициентов В частности, мы видели, что для безотражательного потенциала для действительного в то время как в нуле коэффицеинта мы имеем -Так как аналитическая функция равна всюду нулю, если она равна нулю хотя бы на некотором конечном отрезке линии ([22], стр. 188), предыдущие результаты могли бы показаться парадоксальными. Однако рассматривая выражения для коэффициентов в случае «обрезанного» потенциала, приведенные выше, можно видеть, что все результаты для безотражательных потенциалов получены в пределе при В частности, нулем функции в верхней полуплоскости является точка

Мы имеем также

когда стремится к стремится к и мы получим С другой стороны, для действительных мы получаем, что при Аналогичный результат получается из поведения но в этом случае надо раскрыть неопределенность, поскольку при и как числитель, так и знаменатель обращаются в нуль.

Полюсы коэффициента прохождения определяются корнями уравнения Из приведенного выше выражения для корня этого уравнения, обозначенного через ко, видно, что один из двух корней всегда лежит в верхней полуплоскости. Таким образом, сколь бы малым ни был «обрезанный» притягивающий потенциал, всегда есть связанное состояние. Это частный пример общего результата, состоящего в том, что в одномерных задачах для всех

действительных притягивающих потенциалов, обращающихся в нуль на бесконечности, есть по крайней мере одно связанное состояние [89].

(см. скан)