2.9. «ОБРЕЗАННЫЕ» ПОТЕНЦИАЛЫ
Используя некоторые общие результаты, связанные с «обрезанными» потенциалами, можно расширить класс форм потенциалов, приводящих к простым аналитическим результатам. Рассмотрим показанные на рис. 2.5 потенциал
и «обрезанный» потенциал
можно использовать формулу
чтобы выразить
через
и снова получить ожидаемые результаты
Детальнее этот предел будет обсуждаться после того, как мы рассмотрим следующий пример.
Как отмечалось в упр. 16, в случае потенциала
уравнение имеет фундаментальное решение
Подстановка в предыдущие результаты показывает, что для «обрезанного» потенциала
коэффициенты симеют вид
Эти выражения очень полезны для понимания аналитической структуры коэффициентов
В частности, мы видели, что для безотражательного потенциала
для действительного
в то время как в нуле коэффицеинта
мы имеем
-Так как аналитическая функция равна всюду нулю, если она равна нулю хотя бы на некотором конечном отрезке линии ([22], стр. 188), предыдущие результаты могли бы показаться парадоксальными. Однако рассматривая выражения для коэффициентов в случае «обрезанного» потенциала, приведенные выше, можно видеть, что все результаты для безотражательных потенциалов получены в пределе при
В частности, нулем функции
в верхней полуплоскости является точка
Мы имеем также
когда
стремится к
стремится к
и мы получим
С другой стороны, для действительных
мы получаем, что
при
Аналогичный результат получается из поведения
но в этом случае надо раскрыть неопределенность, поскольку при
и
как числитель, так и знаменатель обращаются в нуль.
Полюсы коэффициента прохождения определяются корнями уравнения
Из приведенного выше выражения для корня этого уравнения, обозначенного через ко, видно, что один из двух корней всегда лежит в верхней полуплоскости. Таким образом, сколь бы малым ни был «обрезанный» притягивающий потенциал, всегда есть связанное состояние. Это частный пример общего результата, состоящего в том, что в одномерных задачах для всех
действительных притягивающих потенциалов, обращающихся в нуль на бесконечности, есть по крайней мере одно связанное состояние [89].
(см. скан)