Глава 2. ВОПРОСЫ ОДНОМЕРНОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ

В гл. 1 было показано, что если изменения потенциала, входя щего в уравнение Шрёдингера, характеризуются параметром если потребовать, чтобы форма потенциала изменялась согласи» уравнению Кортевега — де Фриза, т. е. чтобы функция удовлетворяла уравнению то связанные потенциалом энергетические уровни будут оставаться неизменными при изменении а. Данная глава содержит обзор некоторы: аспектов решения уравнений Шрёдингера. В частности, мы рассмотрим как рассеяние волн, так и локализованные решения, связанные состояния, соответствующие некоторым потенциалам часто используемым в уравнении Шрёдингера.

Хотя объем имеющихся в настоящее время сведений по теорш рассеяния велик, это связано главным образом с рассмотрением радиальной координаты при трехмерном квантовом рассеянии В этом случае областью изменения независимой переменной является полубесконечиый интервал . В интересующей нас ситуации речь идет о несколько иной задаче — об одномерном рассеянии на бесконечном интервале Кроме при ложений к одномерным моделям квантовой теории, подобные задачи рассеяния характерны для многих физических систем, описываемых посредством распространения волн в классической механике, и такие интерпретации здесь также будут рассмотрены.

Как отмечалось в конце гл. 1, иногда при анализе других нелинейных эволюционных уравнений удобнее использовать спектральную задачу Захарова — Шабата (1.5.3)

Читатель, уже знакомый с элементарной теорией распространения волн, может многое опустить в этой главе. Разделы 2.8 и 2.11 содержат материал, непосредственно связанный с теорией солитонов.

2.1. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

Так как при одномерном рассеянии понятия прохождения и отражения волн играют главную роль, полезно рассмотреть этот вопрос более детально. По-видимому, колеблющаяся струна является простейшей физической системой, на примере которой можно рассмотреть большую часть понятий, связанных с одномерным

рассеянием. Для однородной струны уравнение движения волн малой амплитуды имеет вид [88]

где смещение струны и с — скорость волн, равная корню квадратному отношения натяжения струны к ее плотности Общее решение уравнения (2.1.1), выраженное через произвольные профили волн, распространяющихся по струне в противоположных направлениях, записывается в виде

Если струна колеблется с одной частотой то

где амплитуды и фазы постоянны и Удобно считать, что это выражение является действительной частью выражения

где Теперь зависящие от времени множители одинаковы для волн в обоих направлениях, и ими можно пренебречь. Следовательно, пока мы предполагаем, что зависимость от времени имеет вид величина является адекватным представлением для волны единичной амплитуды, распространяющейся в направлении положительных для волны, движущейся в направлении отрицательных х. Локализованное в пространстве и во времени возмущение можно построить методом Фурье ([52], разд. 5.15)

где чтобы обеспечить действительность Далее в этой главе будут приведены примеры использования этого метода.

Поток энергии вдоль струны

Одной из наиболее важных физических величин, связанных с распространением волн по струне, является перенос энергии. В общем случае энергия, связанная с отрезком струны между складывается из кинетической энергии даваемой соотношением

и потенциальной энергии Потенциальная анергия равна работе, совершаемой натяжением струны при ее растяжении, следовательно,

где аппроксимация справедлива при малых отклонениях от равновесия (т. е. при ). Таким образом, полная энергия волны на отрезке струны а равна

Тогда изменение энергии отруны в «той облаоти дается соотношением

где было использовано уравнение (2.1.1). После интегрирования по пространотвенной координате видно, что величина имеет физический смысл (и, следовательно, размерность) потока энергии. Если ввести определение

то поток энергии для волны, распространяющейся в положительна направлении х, будет положительным. Полагая мы получим, что и среднее по времени от втой величины за полный цикл равно

эта величина положительна. Теперь уравнения (2.1.9) и (2.1.10) дают

Это выражение имеет очевидный физический смысл, состоящий в том, что изменение энергии в области между является разностью между притоком энергии в а и оттоком из

Наконец, если выразить энергию между точками через плотность энергии формулой то из (2.1.9) в (2.1.10) получим

Этот результат должен быть справедлив для любой области поэтому должны быть равны сами подынтегральные выражения; отсюда получаем закон сохранения

Поскольку он справедлив для любого интервала его иногда называют локальным законом сохранения.

Удобно уметь вычислять усредненный по времени поток энергии в случае, когда используются комплексные обозначения. Так как энергия есть величина второго порядка, то при этом необходима некоторая осторожность. Обозначив где символ взятия действительной части, получим из (2.1.10) и (2.1.11), что

Это выражение можно записать в виде

где означает «мнимая часть». Аналогичное выражение встретится в разд. 2.4, где оно описывает поток частиц, связанный с уравнением Шрёдингера.

Выражение для энергии колебаний струны (2.1.8) можно получить более красивым способом, используя плотность лагранжиана ([89], гл. 3; [45], гл. 7—9); этот способ удобен для дальнейшего рассмотрения движения волн. Заметим сначала, что волновое уравнение для струны можно получить из плотности лагранжиана Подставив это выражение для 2 в уравнение Эйлера — Лагранжа

мы тотчас же получим волновое уравнение (2.1.1). Более интересен для нас здесь тот факт, что плотность гамильтониана, выражающая плотность энергии волн в струне, дается соотношением приведенной выше плотности лагранжиана получим Теперь, поскольку мы сразу же получаем (2.1.8).

Вычислим поток энергии в струне для случая, когда волна имеет вид т. е. представляет собой суперпозицию двух волн: одной — единичной амплитуды, движущейся в направлении положительных х, другой — с амплитудой (которая может быть комплексной и, таким образом, содержать информацию о фазе), движущейся в направлении отрицательных х. Такое волновое поле устанавливается в области стационарной волной единичной амплитуды, приходящей из и волной с амплитудой отраженной от некоторой неоднородности на струне, находящейся в точке Из (2.1.16) легко найти, что поток энергии равен

Если то положительно и существует результирующий поток энергии в положительном направлении. (Эта энергия может либо пройти через неоднородность в область либо поглотиться ею.) Если то сколько энергии падает, столько и отражается, и ни в одном направлении нет результирующего потока энергии. Это случай волны, полностью отраженной «препятствием без потерь» (т. е. таким препятствием, которое не поглощает энергии). Тогда самая общая форма для коэффициенха отражения — это где действительно; самое большее, что может внести препятствие в отраженную волну, — это изменение фазы. Два различных препятствия без потерь, вносящие один и тот же фазовый сдвиг, могут быть названы фазово эквивалентными. Одномерные задачи рассеяния, которые будут рассмотрены в дальнейшем, дадут информацию о коэффициенте рассеяния, а также о коэффициенте прохождения волны, падающей на некоторое препятствие или на неоднородность на бесконечной струне.