4.6. НАЧАЛЬНЫЙ ПРОФИЛЬ ИМПУЛЬСА В ВИДЕ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ: АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ

В упр. 5 гл. 2 была исиользована предельная процедура, чтобы показать, что для потенциала, пропорционального коэффициент отражения равен единице. Прежде чем совершать этот предельный переход, используем соотношение между и затем, переходя к пределу, найдем, что другой коэффициент отражения равен —1. Это можно было бы считать простейшим коэффициентом отражения, который можно использовать в качестве начального профиля импульса. К сожалению, функция слишком сингулярна, чтобы ее можно было применять в таком качестве. Как отмечалось в разд. 3.1, нарушается требование Тем не менее можно извлечь интересные результаты, касающиеся этого начального профиля. (Мы можем считать, что формализм обратной задачи применяется к профилю, который в пределе приближается к т. е.

Так как имеем

Этот интеграл может быть записан в виде интеграла, определяющего функцию Эйри которая связана с функциями Бесселя порядка 1/3 (см. (4)). Вводя новую переменную интегрирования и полагая затем находим, что

Вследствие вышеупомянутой трудности, связанной со сходимостью, мы не будем пытаться решать уравнение Марченко с таким выражением для Вместо этого мы заметим, что поскольку то пространственная и временная зависимость согласно (4.6.2), имеет вид где Интересный результат состоит в том, что пространственно-временная зависимость при последующей эволюции начального профиля также может быть выражена как функция Это можно показать, полагая где Мы находим, что уравнение Марченко принимает вид

Профиль импульса дается теперь соотношением

Так как получим

Предполагая, что имеет этот вид и замечая, что так что находим, что уравнение Кортевега — де Фриза сводится к обыкновенному дифференциальному нелинейному уравнению для функции

Рис. 4.6. Автомодельное решение уравнения Кортевега — де Фриза.

Числовые коэффициенты в этом уравнений несколько упрощаются, если положить Тогда уравнение для примет вид

Для значений достаточно малых, чтобы нелинейный член был пренебрежимо мал, можно положить и дважды проинтегрировать (4.6.6), получив в результате уравнение Мы отбросили постоянные интегрирования, поскольку нас интересуют решения, обращающиеся в нуль до прихода импульса. Уравнению для удовлетворяет функция Бесселя порядка 1/3. Решение, обращающееся в нуль при пропорционально Используя асимптотическую форму для функции Бесселя, видим, что при На рис. 4.6

показано численное решение полного нелинейного уравнения (4.6.6), которое сводится к этой форме с малой амплитудой для Как отмечалось выше, функция слишком сингулярна, чтобы быть приемлемым начальным условием для профиля импульса. Это подтверждается рисунком, так как колебательное решение продолжает расти при Дополнительную информацию об этом решении можно найти в работе Карпмана [66].