Глава 1. ВВЕДЕНИЕ

За последнее десятилетие очень продвинулось наше понимание того класса нелинейных уравнений в частных производных, которые обычно принято называть эволюционными. Ключом к нашим теперешним знаниям является уяснение факта, что такие уравнения обладают элементарными решениями специального вида. Эти решения имеют характер локализованных возмущений, или импульсов, и сохраняют свою форму даже после взаимодействия друг с другом, т. е. ведут себя в каком-то смысле подобно частицам. Для процессов, описываемых линейными уравнениями в частных производных, где применим принцип суперпозиции, подобная взаимная независимость элементарных решений хорошо известна, но обнаружение ее в процессах, определяемых нелинейными уравнениями в частных производных, явилось полной неожиданностью. Такие локализованные возмущения стали известны под названием солитонов.

Хотя дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие движения солитонов, нелинейны, они тесно связаны с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями типа Штурма — Лиувилля, поэтому изучению солитонов должна предшествовать сводка соответствующих результатов теории Штурма — Лиувилля; они излагаются в гл. 2 и 3 настоящей книги.

Однако перед изложением таких предварительных сведений мы вкратце опишем в гл. 1 некоторые существенные элементы теории солитонов. Во-первых, правильно поставленный вопрос, касающийся обыкновенного дифференциального уравнения типа Штурма—Лиувилля, должен привести нас к рассмотрению одного из нелинейных уравнений, обладающих солитоннымн решениями. Возникающее при этом уравнение известно как уравнение Кортевега—де Фриза; оно встречается в ряде физических задач, главным образом в гидродинамике. На уровне нашего теперешнего понимания такая фундаментальная связь между уравнениями Штурма — Лиувилля и Кортевега — де Фриза кажется неожиданной. Во-вторых, чтобы подчеркнуть тесную связь между солитонами и обыкновенными дифференциальными уравнениями, мы построим формулу, выражающую взаимодействие между двумя солитонами. С этой целью мы используем метод, разработанный Баргманом для получения некоторого класса потенциалов в уравнении Шрёдингера, которое является частным случаем уравнения Штурма—Лиувилля. Несколько нестрого можно сказать, что аналитические выражения, описывающие многосолитонные

решения, являются просто потенциалами Баргмана. Если рассмотреть это двухсолнтонное решение, то природа солитона как частицы станет очевидной. Наконец, мы покажем, как уравнение Кортевега — де Фриза возникает в простом примере распространения нелинейных диспергирующих волн.