4.5. СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ

В разд. 2.8 показано, что величина, обратная коэффициенту прохождения, имеет асимптотическое разложение

где

Величины являются функциями потенциала и его пространственных производных. Выражения для нескольких первых приведены в (2.8.51). Так как и зависит от времени, можно было бы ожидать, что (и поэтому также будут зависеть от времени. Однако для потенциалов, эволюция которых описывается уравнением Кортевега — де Фриза, согласно от времени не зависит. Следовательно, коэффициенты в асимптотическом разложении также не должны зависеть от времени, даже если потенциал от времени зависит. Таким образом, коэффициенты представляют собой бесконечное число интегралов движения, которые могут быть связаны с решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Из (2.8.51) видно, то являются полными пространственными производными, так что их интегралы от импульсных решений обращаются в нуль. Это оказывается верным для всех более высоких нечетных значений Следовательно, интересны только Согласно (2.8.50) и (2.8.51), несколько первых сохраняющихся величии имеют вид

где мы пренебрегли членами, содержащими полные производные, и при получении было выполнено интегрирование по частям.

Независимость с от времени можно также непосредственно вывести из уравнения Кортевега — де Фриза. Интегрирование этого уравнения по всему пространству дает

что эквивалентно первому из соотношений (4.5.3). Умножая уравнение Кортевега — де Фриза на и и интегрируя затем по всем х, получим второе из соотношений (4.5.3) в виде

Аналогичная проверка может быть выполнена для сохраняющихся величин более высокого порядка, но для этого нужны вычисления

все возрастающей трудности. Перечень первых десяти сохраняющихся величин был приведен Миурой и др. [87].

Сохраняющиеся величины дают простую схему получения приближенных значений амплитуд солитонов (Березин и Карпман [14]). Недостаток метода состоит в том, что он требует знания окончательного числа ожидаемых импульсов. Кроме того, для быстро меняющихся по х начальных профилей импульсов метод неточен и может не дать с достаточной точностью амплитуду самого маленького солитона. Однако преимущество его в том, что он исходит непосредственно из формы начального профиля импульса и не требует определения связанных состояний, соответствующих этому профилю. В качестве примера рассмотрим начальный профиль импульса Для значений приводящих к распаду на два солитона, мы должны иметь

где Если нам не интересны фазовые члены, для получения окончательной формы решения нужно определить только амплитуды импульсов Поскольку величины постоянны во времени, можно вычислить их при используя приведенное выше значение а также при с помощью (4.5.3). Можно затем приравнять результаты и получить пару алгебраических уравнений

где были использованы интегралы Комбинируя уравнения (4.5.7), можно получить квадратное уравнение которое имеет решения Для рассмотренного в предыдущем разделе значения получим Эти вначения следует сравнивать с точными значениями полученными в конце предыдущего раздела. Точное

решение, содержащее вклад от несолитонной части решения, конечно, также будет удовлетворять всем законам сохранения более высокого порядка.

Если появляется три импульса, их амплитуды вожно вычислить с помощью трех первых законов сохранения.

Рис. 4.5. Геометрическое место корней первых трех законов сохранения для начального профиля импульса

Снова используя начальный профиль импульса и третью сохраняющуюся величину из (4.5.3), находим, что

Решения этой группы уравнений эквивалентны решению одного кубического уравнения. Три уравнения (4.5.8) можно рассматривать как симметричные функции корней этого кубического уравнения, и здесь могут быть полезны результаты теории уравнений ([19], гл. 7). На рис. 4.5 показано геометрическое место корней (4.5.7) и (4.5.8). Точки являются точными результатами, полученными из (4.4.17). Результаты для и 12 соответствуют чисто солитонным решениям и, как видно, лежат на кривых. Приближенное согласие для является результатом пренебрежения несолитонной частью решения.