2.10. РАССЕЯНИЕ ИМПУЛЬСОВ — УРАВНЕНИЯ МАРЧЕНКО

При предыдущих рассмотрениях процесса рассеяния падающая волна была стационарной волной только с одной частотой. можно было бы построить рассеяние произвольного падающего импульса по результатам вычислений таких стационарных состояний с помощью фурье-синтеза, как в (2.2.9), есть некоторые преимущества рассматривать рассеяние импульсов непосредственно во временной области. В частности, это легко приведет нас к новому представлению фундаментальных решений Конечно, простейшим для анализа импульсом является -функция. Так как импульсы суть функции они являются точными решениями простого волнового уравнения сгухх — 0. Однако для упруго закрепленной струны, описываемой уравнением

такие функции больше не являются решениями. Если -локализованная функция, мы ожидаем, что может существовать точное решение, сводящееся к -функции вдали от упругой области. Вследствие наличия упругой области мы ожидаем, что импульс частично рассеется и оставит, таким образом, некий след за острой передней кромкой. Следовательно, разумно записать решение уравнения (2.10.1) в виде [10]

где - единичная ступенчатая функция и -функция, описывающая рассеяние, или след. Множители с были введены для последующего удобства. Если сделать преобразование Фурье решения и положить затем получим

Это решение обладает тем свойством, что

Теперь при функция является решением уравнения

для которого в разд. 2.8 мы ввели фундаментальное решение, обладающее следующим свойством: Так как это решение единственно, мы делаем вывод, что функция должна быть другим представлением фундаментального решения Следовательно, можно записать

Это окажется удобным при дальнейшем использовании фундаментальных решений.

Аналогично, импульс, распространяющийся в отрицательном направлении х, можно записать в виде

Преобразование Фурье этого выражения приводит к следующему результату:

Из предшествующих результатов можно получить некоторые аналитические свойства фундаментальных решений. Обратное преобразование Фурье выражения (2.10.5) имеет вид

где равно нулю для Так как для интеграл (2.10.8) замыкается в верхней полуплоскости, мы делаем вывод, что выражение должно быть аналитично в верхней полуплоскости, так что для интеграл дает Аналогично, формула (2.10.7) приводит к заключению, что функция также аналнтична в верхней полуплоскости. Аналитичность этих выражений была установлена ранее при рассмотрении (2.8.3) и (2.8.4), и нее можно было бы получить приведенные здесь представления (2.10.5) и (2.10.7).

Преобразование Фурье решения дает

Это обращенное во времени решение, представляющее собой импульс, движущийся в направлении отрицательных х, перед которым движется возмущение. Аналогичным образом мы находим, что функция связана с решением, движущимся в положительном направлении х, впереди которого движется возмущение. Решение во временной области имеет вид

Легко понять смысл этих четырех решений, особенно тех, которые содержат обращенные во времени решения, рассматривая рассеяние потенциалом в виде -фуикции во временной области. Функции приводятся в упр. 19. Соответствующие решения получаются с помощью преобразования Фурье фундаментальных решений, приведенных в упр. 19. Легко выполнить вычисления, рассматривая сначала Для

мы находим

где означает производную -функции по ее аргументу. Следовательно,

Так как мы находим также из (2.10.2), что в этом примере Обращенное во времени решение имеет вид

Рассмотрение (2.10.12) показывает, что описывает процесс рассеяния, в котором из приходит импульс в виде -функции, за которым следует положительная ступенька с амплитудой После взаимодействия с потенциалом в виде -функции в начале координат, импульс в виде -функции проходит в направлении положительных х, а отраженная отрицательная ступенька с амплитудой возвращается на и взаимно сокращается с падающей ступенькой положительной амплитуды. Рассмотрение решения показывает, что оно представляет собой процесс рассеяния, в котором есть как импульс в виде -функции, приходящий из так и ступенчатая функция с амплитудой приходящая из После рассеяния потенциалом в виде -функции, помещенным в начало координат, -видный импульс проходит в положительном направлении вместе с отрицательной ступенькой с амплитудой которая уничтожает амплитуду падающей ступеньки. Аналогичные результаты получаются для решения

Согласно (2.8.7а), фундаментальные решения связаны соотношением

где коэффициенты отражения и прохождения были введены формулами (2.8.8). Теперь мы получим соответствующее соотношение во временнбй области. Это делается с помощью преобразования

Фурье выражения (2.10.14). Используя (2.8.31) и (2.8.32), запишем преобразование Фурье правой части уравнения (2.10.14) в виде

Аналогичное преобразование левой части уравнения дает

Рассмотрим теперь случай Тогда интеграл в (2.8.31), определяющий замыкается в верхней полуплоскости, и если в верхней полуплоскости плоскости нет полюсов, то функция будет равна нулю. Итак, интеграл в (2.10.16) берется только по области, где функция равна нулю. Следовательно, этот интеграл также обращается в нуль. Следовательно, для все члены в выражении (2.10.16) обращаются в нуль. Полагая получаем, что преобразование Фурье для (2.10.14) имеет вид

Аналогичная процедура в применении к дает

Часто уравнения (2.10.17) и (2.10.18) называются уравнениями Марченко (Агранович и Марченко В гл. рассмотрении

обратной задачи рассеяния эти уравнения будут центральными. Они будут использоваться для определения или когда задан один из коэффициентов отражения или Там же мы рассмотрим и обобщение, необходимое в случае, когда у функции есть полюсы в верхней полуплоскости.

Уравнения Марченко могут быть также использованы для решения прямой задачи рассеяния, т. е. для определения коэффициентов отражения, когда известен потенциал и, следовательно, фундаментальные решения и функции или Однако, если фундаментальные решения уже известны, много проще определить коэффициенты таким образом, непосредственно получить преобразование Фурье коэффициента рассеяния. Для обратной задачи рассеяния такого прямого пути нет, и нужно рассматривать интегральное уравнение.