такие функции больше не являются решениями. Если
-локализованная функция, мы ожидаем, что может существовать точное решение, сводящееся к
-функции вдали от упругой области. Вследствие наличия упругой области мы ожидаем, что импульс частично рассеется и оставит, таким образом, некий след за острой передней кромкой. Следовательно, разумно записать решение уравнения (2.10.1) в виде [10]
где
- единичная ступенчатая функция и
-функция, описывающая рассеяние, или след. Множители с были введены для последующего удобства. Если сделать преобразование Фурье решения и положить затем
получим
Это решение обладает тем свойством, что
Теперь при
функция
является решением уравнения
для которого в разд. 2.8 мы ввели фундаментальное решение, обладающее следующим свойством:
Так как это решение единственно, мы делаем вывод, что функция
должна быть другим представлением фундаментального решения
Следовательно, можно записать
Это окажется удобным при дальнейшем использовании фундаментальных решений.
Аналогично, импульс, распространяющийся в отрицательном направлении х, можно записать в виде
Преобразование Фурье этого выражения приводит к следующему результату:
Из предшествующих результатов можно получить некоторые аналитические свойства фундаментальных решений. Обратное преобразование Фурье выражения (2.10.5) имеет вид
где
равно нулю для
Так как для
интеграл (2.10.8) замыкается в верхней полуплоскости, мы делаем вывод, что выражение
должно быть аналитично в верхней полуплоскости, так что для
интеграл дает
Аналогично, формула (2.10.7) приводит к заключению, что функция
также аналнтична в верхней полуплоскости. Аналитичность этих выражений была установлена ранее при рассмотрении (2.8.3) и (2.8.4), и
нее можно было бы получить приведенные здесь представления (2.10.5) и (2.10.7).
Преобразование Фурье решения
дает
Это обращенное во времени решение, представляющее собой импульс, движущийся в направлении отрицательных х, перед которым движется возмущение. Аналогичным образом мы находим, что функция
связана с решением, движущимся в положительном направлении х, впереди которого движется возмущение. Решение во временной области имеет вид
Легко понять смысл этих четырех решений, особенно тех, которые содержат обращенные во времени решения, рассматривая рассеяние потенциалом в виде
-фуикции во временной области. Функции
приводятся в упр. 19. Соответствующие решения
получаются с помощью преобразования Фурье фундаментальных решений, приведенных в упр. 19. Легко выполнить вычисления, рассматривая сначала
Для
мы находим
где
означает производную
-функции по ее аргументу. Следовательно,
Так как
мы находим также из (2.10.2), что в этом примере
Обращенное во времени решение имеет вид
Рассмотрение (2.10.12) показывает, что
описывает процесс рассеяния, в котором из
приходит импульс в виде
-функции, за которым следует положительная ступенька с амплитудой
После взаимодействия с потенциалом в виде
-функции в начале координат, импульс в виде
-функции проходит в направлении положительных х, а отраженная отрицательная ступенька с амплитудой
возвращается на
и взаимно сокращается с падающей ступенькой положительной амплитуды. Рассмотрение решения
показывает, что оно представляет собой процесс рассеяния, в котором есть как импульс в виде
-функции, приходящий из
так и ступенчатая функция с амплитудой
приходящая из
После рассеяния потенциалом в виде
-функции, помещенным в начало координат,
-видный импульс проходит в положительном направлении вместе с отрицательной ступенькой с амплитудой
которая уничтожает амплитуду падающей ступеньки. Аналогичные результаты получаются для решения
Согласно (2.8.7а), фундаментальные решения связаны соотношением
где коэффициенты отражения и прохождения были введены формулами (2.8.8). Теперь мы получим соответствующее соотношение во временнбй области. Это делается с помощью преобразования
обратной задачи рассеяния эти уравнения будут центральными. Они будут использоваться для определения
или
когда задан один из коэффициентов отражения
или
Там же мы рассмотрим и обобщение, необходимое в случае, когда у функции
есть полюсы в верхней полуплоскости.
Уравнения Марченко могут быть также использованы для решения прямой задачи рассеяния, т. е. для определения коэффициентов отражения, когда известен потенциал и, следовательно, фундаментальные решения и функции
или
Однако, если фундаментальные решения уже известны, много проще определить коэффициенты
таким образом, непосредственно получить преобразование Фурье коэффициента рассеяния. Для обратной задачи рассеяния такого прямого пути нет, и нужно рассматривать интегральное уравнение.