7.11. РАСПРОСТРАНЕНИЕ В УСИЛИТЕЛЕ

Поскольку, как мы видели в разд. 7.8, солитон не является устойчивой модой распространяющегося светового импульса в случае инверсной заселенности, можно ожидать, что распространение импульса в усилителе полностью отлично от распространения в аттенуаторе. В этом случае, как можно ожидать, анализ также более труден, так как несолитонная часть решения теперь не ослабляется, а усиливается, и поэтому ее нельзя отбрасывать. Импульс, первоначально малый, будет усиливаться до тех пор, пока нелинейные эффекты не станут доминирующими.

Однако есть случай, проанализировать который очень просто. В разд. 5.2 мы видели, что автомодельное решение уравнения sine-Gordon дает профиль импульса, обладающего свойствами, которые мы требуем от -импульса в усилителе. Показанные на рис. 5.5 результаты могут быть непосредственно применены к случаю усиления импульса в пределе отсутствия неоднородного уширения (т.е. при Нам нужно просто интерпретировать рис. 5.5 как график зависимости от Из этих результатов можно вывести законы пересчета для распространения импульса в усилителе без потерь. Так как абсцисса огибающей импульса равна то продолжительность импульса сокращается линейно с ростом расстояния, пройденного импульсом. При этом, поскольку амплитуда огибающей импульса линейно растет с расстоянием.

В разд. 3.4 мы видели, что «обрезанный» потенциал с коэффициентом отражения, выраженным через рациональную функцию, может быть проанализирован почти так же легко, как и чисто многосолитонное решение. Уравнение Марченко может быть решено методом, аналогичным использованному для безотражательных потенциалов при чисто солитонном распространении. Следовательно, при анализе распространения импульсов в усилителе «обрезанные» профили начальных импульсов кажутся предпочтительнее. Однако вследствие аналитических трудностей, связанных с зависящим от времени фазовым членом в коэффициенте отражения, распространение даже этих начальных профилей импульсов приходится рассматривать приближенно. Сейчас мы рассмотрим пример, показывающий, как с помощью этих «обрезанных» потенциалов можно исследовать некоторые свойства, которых следует ожидать от распространения импульсов в усилителе. Однако при выполнении этого анализа нужны сильные аппроксимации, и пример рассматривается только для того, чтобы показать, как с помощью таких приближенных процедур можно получить разумные результаты.

Одним из самых легких для рассмотрения является профиль начального импульса

где — единичная ступенчатая функция. При изменении от до площадь под импульсом уменьшается от до нуля. Согласно (7.10.5), соответствующий комплексный потенциал имеет вид

Рассмотрим решение уравнения Шрёдингера (7.10.4) с этим комплексным потенциалом. Фундаментальным решением, сводящимся к при и, таким образом, описывающим, согласно результатам разд. 7.10, инверсную заселенность перед приходом импульса, является решение Большой интерес представляют коэффициенты связывающие различные фундаментальные решения. Так как потенциал является «обрезанным», а также содержит -функцию, эти коэффициенты могут быть сразу же получены при использовании результатов упр. 23 гл. 2. При потенциал сводится к где Тогда фундаментальные решения даются в упр. 16 гл. 2. В частности,

Это фундаментальное решение для «необрезанного» потенциала. Используя результаты упр. 23 гл. 2, имеем

где теперь Полагая и замечая, что находим, что

Аналогично получим

При выводе этого результата мы использовали соотношение . Тогда коэффициент отражения имеет вид

Используя для преобразования Фурье формулу (2.8.32) и для пространственной зависимости формулу (7.10.19), находим, что на произвольном расстоянии в среде

Для начальный импульс меньше -импульса и полюс в подынтегральном выражении лежит в нижней полуплоскости. Для следует включить вклад от полюса, который теперь лежит в верхней полуплоскости. Этот более сложный случай здесь рассматриваться не будет. Наличие полюсов в верхней полуплоскости приведет к появлению многопнковых усиленных импульсов, наблюдавшихся при численном решении этой задачи ([55], рис. 4).

Частотное распределение неоднородного уширения часто предполагается гауссовым. Тогда в безразмерном виде

где называется временем неоднородной релаксации, а Время является мерой затухания профиля импульса вследствие эффектов дисперсии (ширина полосы) и описывает обратимое явление ([48]; [1]).

Теперь постоянная распространения в (7.10.14) принимает вид

где для того, чтобы убрать сингулярности с действительной оси, было введено бесконечно малое затухание. Функция является комплексной функцией ошибок [4]

Так как мнимая часть является нечетной функцией ее можно добавить к подынтегральному выражению (7.10.14) и получить интеграл (7.11.10). Функция имеет следующие предельные формы:

Следовательно, на полуокружности бесконечного радиуса, лежащей в верхней полуплоскости, функция стремится к нулю как и интеграл (7.11.10) можно вычислить с помощью теории вычетов. Так как аналитична в верхней полуплоскости, получим

В пределе гауссово распределение (7.11.9) превращается в -функцию, и задача сводится к уравнению sine-Gordon, как показано в разд. 7.8. Здесь мы рассмотрим только противоположный предел очень большого неоднородного уширения . Этому случаю соответствует первое из выражений (7.11.12) для функции Оказывается, что, несмотря на то, что функция в (7.11.8) интегрируется по всем использование для только аппроксимации, предназначенной для малых аргументов, приводит к ожидаемым результатам. Полагая мы находим, что и

где В безразмерной форме зависящий от пространственной координаты множитель в (7.11.14) равен где а — коэффициент линейного усиления, даваемый формулой (7.9.8).

Теперь очень просто вычислить интеграл (7.11.8) и получить

Так как зависимость от только параметрическая, то, не принимая ее во внимание, мы находим, что теперь уравнение Марченко (7.10.11) принимает вид

где

Нижний предел в (7.11.16), равный , а не является результатом «обрезания» профиля импульса. Так как пространственную зависимость коэффициента прохождения нелегко получить используемым здесь методом (хотя это можно сделать с помощью более общего метода, который будет описан в следующем разделе), мы не можем перейти, как в разд. 3.4, к построению и затем получить решение интегрального уравнения (3.2.7), в котором интеграл берется в пределах от до

Очевидно, что уравнение (7.11.16) упрощается, если с самого начала выбрать в виде произведения

Дифференцируя по соответствующее уравнение для получим

Последующее дифференцирование этого уравнения и исключение с помощью уравнения, которое получается из (7.11.20) при замене на дает

Это уравнение имеет решения вида где

Из (7.11.18) видно, что как так и 6 зависят от Таким образом, согласно (7.11.19) и (7.11.22), для решения уравнения Марченко удобно выбрать в виде

Подстановка этого выражения для в уравнение Марченко дает

Так как, согласно находим, что (7.11.24) дает выражение для профиля электрического поля в виде

Характерные графики этого выражения приводятся на рис. 7.5. Полная площадь импульса равна)

Рис. 7.5. Усиление исходного профиля импульса вида (7.11.1) при разных значениях -импульс; начальная площадь приблизительно равна 0.45. Аналитические выражения для этих кривых даются формулами (7.11.26). Безразмерный линейный прирост у равен единице в обоих случаях. (С разрешения Американского физического института.)

Этот результат можно переписать в виде что в силу теоремы площадей (7.9.9) эквивалентно выражению

При стремящемся к бесконечности, стремится к для . Кроме того, при то, стремящемся к стремится к для всех