Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
6.4. КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОДНОМЕРНОЙ ТЕОРИИ ДИСЛОКАЦИИ - УРАВНЕНИЕ SINE-GORDONНекоторые из явлений, наблюдаемых в слое атомов твердого тела, описываются классической моделью, состоящей из цепочки частиц, соединенных друг с другом пружинами. Влияние соседних слоев атомов (субстрата) моделируется периодическим потенциалом. Простейшей равновесной ситуацией является та, в которой в каждой впадине потенциала находится одна частица. Однако баланс потенциальной энергии между энергией пружин и энергией периодически меняющегося потенциала может приводить к другим равновесным конфигурациям. В частности, каждая последующая частица цепочки может находиться все дальше от соответствующей впадины потенциала. На некотором расстоянии цепочка может быть растянута (или сжата) так, что число частиц может быть на одну меньше (или больше) числа впадин. Такая конфигурация называется отрицательной (положительной) дислокацией. Чтобы полностью описать динамику цепочки в рамках классической модели, рассмотрим ряд частиц массы Геометрия системы показана на рис. 6.2. Ниже перечисляются различные величины, входящие в определяющие уравнения:
В определениях
Рис. 6.2. Дислокация на цепочке масс, расположенных в синусоидальных впадинах. Вводя обозначения
Различные возможные равновесные конфигурации масс получаются при решении системы уравнений, возникающих, если
Поэтому допустимые равновесные конфигурации являются решениями уравнений
Поучительно детально рассмотреть простое решение этих уравнений. Если выбрать по два соседних значения для и положим
Если теперь положить При медленном изменении
Можно это разложение оборвать после второй производной, так как этот член дает первый неисчезающий член при подстановке разностного выражения в (6.4.3). Получим
При интегрировании этого выражения полезно понять смысл
мы видим, что
Чтобы рассмотреть простой пример, предположим, что
Растяжение цепочки (уменьшение плотности) соответствует положительному знаку, и только этот случай мы будем рассматривать. Интегрируя и полагая произвольно
Поэтому в области размером Из (6.4.1) легко получить потенциальную энергию, связанную с дислокацией, заменяя сумму по дискретным значениям
Теперь обратимся к рассмотрению движения частиц цепочки. Кинетическая энергия цепочки равна
Тогда лагранжиан
Используя для потенциальной энергии выражение (6.4.1), находим, что
В непрерывном пределе, введенном выше, это уравнение принимает вид
где
т. е. рассмотренное в разд. 5.2 уравнение sine-Gordon. Теперь мы видим, что одиосолитонное решение
приведенное в (5.2.11), описывает равномерное перемещение дислокации, даваемой формулой (6.4.9). Полная энергия
где
Мы уже видели в разд. 5.2, что
|
1 |
Оглавление
|