6.4. КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОДНОМЕРНОЙ ТЕОРИИ ДИСЛОКАЦИИ - УРАВНЕНИЕ SINE-GORDON

Некоторые из явлений, наблюдаемых в слое атомов твердого тела, описываются классической моделью, состоящей из цепочки частиц, соединенных друг с другом пружинами. Влияние соседних слоев атомов (субстрата) моделируется периодическим потенциалом. Простейшей равновесной ситуацией является та, в которой в каждой впадине потенциала находится одна частица. Однако баланс потенциальной энергии между энергией пружин и энергией периодически меняющегося потенциала может приводить к другим равновесным конфигурациям. В частности, каждая последующая частица цепочки может находиться все дальше от соответствующей впадины потенциала. На некотором расстоянии цепочка может быть растянута (или сжата) так, что число частиц может быть на одну меньше (или больше) числа впадин. Такая конфигурация называется отрицательной (положительной) дислокацией.

Чтобы полностью описать динамику цепочки в рамках классической модели, рассмотрим ряд частиц массы соединенных друг с другом линейными пружинами, причем постоянные пружин одинаковы. Частицы скользят по синусоидально гофрированной поверхности, так что периодический потенциал обеспечивается силой тяжести. Сводка результатов по статике и динамике такой механической системы была дана в серии статей Франка и ван дер Мерве ([40], [41]); мы будем здесь следовать их подходу. Обсуждение связи модели с макроскопическими свойствами твердого тела можно найти в работах [60] и [100].

Геометрия системы показана на рис. 6.2. Ниже перечисляются различные величины, входящие в определяющие уравнения:

период субтрата,

промежуток между частицами цепочки при недефромированном состоянии соединяющих пружин,

положение частицы,

положение впадины —

смещение частицы относительно впадины,

В определениях сумма берется по всем частицам цепочки.

Рис. 6.2. Дислокация на цепочке масс, расположенных в синусоидальных впадинах.

Вводя обозначения находим, что полная потенциальная энергия может быть записана в виде

Различные возможные равновесные конфигурации масс получаются при решении системы уравнений, возникающих, если принять равным нулю. Замечая, что каждое встречается в (6.4.1) в двух соседних членах первой суммы, получим

Поэтому допустимые равновесные конфигурации являются решениями уравнений

Поучительно детально рассмотреть простое решение этих уравнений. Если выбрать по два соседних значения для и из (6.4.3) легко получаются другие смещения. В качестве примера

положим и выберем и так, что Полагая в находим, что

Если теперь положить то (6.4.3) даст и т. д. На рис. 6.2 приведен график этих результатов, а также диаграмма, показывающая расположение масс относительно впадин потенциала. На расстоянии есть несовпадение — число масс на единицу меньше числа впадин.

При медленном изменении ; от одного положения к другому можно заменить дискретные значения непрерывно меняющимся параметром и ввести разложение

Можно это разложение оборвать после второй производной, так как этот член дает первый неисчезающий член при подстановке разностного выражения в (6.4.3). Получим

При интегрировании этого выражения полезно понять смысл Так как

мы видим, что является величиной, на которую измеренное в единицах а расстояние между соседними частицами превышает единицу. Если положить при т. е. где соседние массы находятся во впадинах потенциала субстрата, первый интеграл уравнения (6.4.5) примет вид

Чтобы рассмотреть простой пример, предположим, что так что вдали от дислокации частицы находятся во впадинах. Тогда

Растяжение цепочки (уменьшение плотности) соответствует положительному знаку, и только этот случай мы будем рассматривать. Интегрируя и полагая произвольно при получим или

Поэтому в области размером смещение растет от до 1. Таким образом, в этой области число частиц на единицу меньше числа впадин в потенциале субстрата. Мы видим, что является мерой протяженности дислокации в единицах а.

Из (6.4.1) легко получить потенциальную энергию, связанную с дислокацией, заменяя сумму по дискретным значениям интегралом по и используя (6.4.9). Тогда в предположении бесконечной протяженности цепочки можно записать

Теперь обратимся к рассмотрению движения частиц цепочки. Кинетическая энергия цепочки равна

Тогда лагранжиан дает уравнение движения массы в виде

Используя для потенциальной энергии выражение (6.4.1), находим, что

В непрерывном пределе, введенном выше, это уравнение принимает вид

где Если ввести теперь новую зависимую переменную а также независимые переменные получится уравнение

т. е. рассмотренное в разд. 5.2 уравнение sine-Gordon. Теперь мы видим, что одиосолитонное решение

приведенное в (5.2.11), описывает равномерное перемещение дислокации, даваемой формулой (6.4.9).

Полная энергия связанная с движущимся по цепочке возмущением, равна . В непрерывном пределе это выражение принимает вид

где

Мы уже видели в разд. 5.2, что если а дается односолитонным решением (6.4.16). Следовательно, связанная с движением одного солитона энергия равна где энергия покоя V, данная в выражении (6.4.10). Результаты многосолитонного решения, о которых шла речь в разд. 5.2, могут быть целиком перенесены на этот случай.