3.8. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ЗАХАРОВА — ШАБАТА ДЛЯ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ

В разд. 2.11 было показано, что систему из двух уравнений

можно исследовать так же, как уравнение Шрёдингера в разд. 2.8, т. е. можно ввести фундаментальные решения и провести достаточно общий анализ процесса рассеяния. Эти решения были

связаны соотношениями

где

и аналогично для . С помощью преобразования Фурье выражения (3.6.2а) можно получить пару сцепленных интегральных уравнений типа уравнений Марченко. Из следует вторая пара таких интегральных уравнений. Поэтому можно сформулировать метод решения обратных задач рассеяния для уравнений Захарова — Шабата. Анализ, приводящий к интегральным уравнениям, аналогичен тому, который использовался в разд. 2.10 и 3.2 для уравнения Шрёдингера, так что будет дан лишь набросок этого вывода.

Для получения интегральных уравнений, связанных с парой запишем их сначала в виде

где как в (2.11.25). Определяя преобразования Фурье от и от как в (2.8.31) и (2.8.32), и используя затем (2.11.6) и (2.11.7) для преобразований и от получим

Так как обе функции, при обращаются в нуль, то второй член в левой части обоих уравнений обращается в нуль при выполнении этого неравенства. Рассмотрим подробнее уравнение (3.6.5а) в случае При заданной соотношением (2.11.5), и заданной соотношением (2.8.31) (несмотря на то что, как отмечалось в разд. 2.11, полюсы могут и не лежать на мнимой оси), левая часть уравнения (3.6.5а)

приводится к виду

Здесь для было использовано определение (2.11.7). Так как мы окончательно получим

Аналогично правую часть можно записать в виде

Приравнивая эти два выражения и определяя

получим интегральное уравнение

где Аналогичная процедура для дает

Уравнения (3.6.10) являются интегральными уравнениями Марченко для этой обратной задачи Захарова — Шабата. Аналогичная пара уравнений следует из (3.6.2а). Результат записывается в виде

где

нужно также найти соотношение между функцией и функциями ядер или Снова мы следуем методу, близкому тому, который использовался для уравнения Шрёдингера. Подставляя зависящие от времени решения в (2.11.2), находим, что

Для полагая получим

Кроме того, интегрируя (3.6.14) по времени с переходом через сингулярность в -функции, получим

Полагая в первом из уравнений (3.6.15), получим в результате

Аналогичное рассмотрение, основанное на решении и заданном формулой (2.11.5), дает