Глава 4. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА—ДЕ ФРИЗА

В гл. 2 и 3 была описана техника математических вычислений, используемая для решения нелинейных эволюционных уравнений методами обратной задачи рассеяния. В данной главе мы используем эту технику для решения уравнения Кортевега — де Фриза. Это простейший пример такой процедуры, поскольку здесь нужны только методы обратной задачи рассеяния, используемые для уравнения Шрёдингера. Эволюционные уравнения, решаемые методами обратной задачи, связанными с менее известными системами двух уравнений, будут рассматриваться в гл. 5. В последние годы появилось много обзоров, посвященных свойствам уравнения Кортевега—де Фриза; см., например, [63].

4.1. СТАЦИОНАРНОЕ РЕШЕНИЕ

Прежде чем переходить к общему решению уравнения Кортевега — де Фриза, получим сначала самое общее стационарное решение этого уравнения. В гл. 1 мы рассмотрели уравнение Кортевега — де Фриза

и нашли его стационарное решение в виде импульса, т.е. решение и Теперь мы получим более общее стационарное решение. Оно имеет колебательный характер и в пределе, когда период осцилляций стремится к бесконечности, может быть сведено к ранее рассмотренному решению в форме импульса. Удобно рассматривать колебательное решение, которое в конце концов сводится к импульсу положительной амплитуды. Мы получим это и другие алгебраические удобства, если положим в (4.1.1) и Записывая стационарное решение в виде имеем и уравнение Кортевега — де Фриза сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, для которого можно сразу получить первый интеграл. Затем, умножая первый интеграл на можно проинтегрировать второй раз. Находим, что

где постоянные интегрирования. Укажем факторизованную форму кубического выражения

График зависимости от с тремя действительными корнями будет иметь вид, показанный на рис. 4.1. Чтобы убедиться, что все корни действительны, заметим, что при действительном функция должна быть положительной. Таким образом, для колебаний конечной амплитуды должна быть ограничена областью должно быть по крайней мере два действительных корня (и, следовательно, три, так как коэффициенты уравнения (4.1.2) действительны).

Рис. 4.1. Поведение для солитонного решения и колебательного решения

Записывая единственный отрицательный множитель в (4.1.3) в виде находим, что уравнение для имеет вид

Полагая получим

где

является уравнением, определяющим эллиптическую функцию Якоби [31]. Постоянная называется модулем эллиптической функции. Функция имеет две предельные формы Поэтому решение уравнения (4.1.5) имеет вид таким образом,

Так как во всяком кубическом уравнении коэффициент при квадратичном члене равен сумме корней, взятой с обратным знаком, сравнение (4.1.2) и (4.1.3) показывает, что Функция колеблется между нулем и единицей с периодом, равным где Следовательно, колеблется между с периодом При стремящемся к модуль стремится к единице, а Тогда мы получим выражение

описывающее импульс с полушириной амплитуда которого относительно уровня отсчета равна Если (так что ), мы получаем

а это есть ранее полученный стационарный нмпульс.

Так как в приложениях уравнение Кортевега — де Фриза встречается с различными коэффициентами, заметим, что уравнение вида имеет решение в виде единичного солитона где

С другой стороны, если стремится к становится малым, мы получаем стационарное решение в виде колебаний малой амплитуды. В этом пределе

где . В дальнейшем наше внимание будет почти целиком направлено на решения в виде импульсов, а стационарные осцилляторные решения рассматриваться не будут.