3.2. НАЛИЧИЕ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЯ

Сейчас мы псрнемсн к приведенному в разд. 2.10 выводу уравнения Марченко и распространим этот вывод на случай, когда есть связанные состояния. Как указывалось в разд. 2.8, связанные состояния соответствуют полюсам коэффициента прохождения в точках лежащих на мнимой оси в верхней полуплоскости. Преобразование Фурье левой части выражения (2.10.14), как и ранее, дается формулой (2.10.16). Однако для это выражение больше не обращается в нуль. Согласно (2.8.33), мы теперь имеем

Для выражение (2.10.16) принимает вид

где было использовано определение фундаментального решения (2.10.7). В точках два фундаментальных решения линейно зависимы и, согласно (2.8.20),

Используя определение формулой (2.10.5) и снова полагая можно записать

Если определить

то уравнение Марченко будет иметь точно тот же вид, что и в случае отсутствия связанных состояний. Согласно (2.8.8) и (2.8.32),

это можно записать в виде

Наконец, интегральное уравнение имеет вид

где дастся выражением (3.2.6). Таким образом, мы получаем точно то же интегральное уравнение, которое было получено в отсутствие связанных состояний, за исключением того, что коэффициент отражения заменяется на Чтобы определить мы должны знать не только коэффициент отражения но также и число связанных состояний, точки определяющие их положение на комплексной плоскости, и нормировочные постоянные для каждой из волновых функций связанного состояния.

Аналогичная процедура в применении к дает

где

В качестве простого примера со связанным состоянием

рассмотрим притягивающий потенциал в виде дельта-функции.

Пример: притягивающий потенциал в виде -функции

Рассмотрим задачу рассеяния для приходящих слева волн. Коэффициент отражения В упр. 19 гл. 2 было найдено, что коэффициенты рассеяния для потенциала в виде -функции имеют вид Для притягивающего потенциала отрицательно и нуль с и лежит в верхней полуплоскости в точке Итак, коэффициент отражения равен Согласно (2.8.32), преобразование Фурье этого коэффициента отражения записывается в виде

Согласно (3.2.9), мы можем построить величину

где С ранее полученными значениями находим, что

где в единичная ступенчатая функция. Это совпадает с выражением (3.1.7), которое было получено для в случае отталкивающего потенциала в виде -функции. Уравнение Марченко решается, как и раньше, и для потенциала получается тот же результат, только теперь

(см. скан)

(см. скан)