3.2. НАЛИЧИЕ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЯ
Сейчас мы псрнемсн к приведенному в разд. 2.10 выводу уравнения Марченко и распространим этот вывод на случай, когда есть связанные состояния. Как указывалось в разд. 2.8, связанные состояния соответствуют полюсам коэффициента прохождения в точках 
лежащих на мнимой оси в верхней полуплоскости. Преобразование Фурье левой части выражения (2.10.14), как и ранее, дается формулой (2.10.16). Однако для 
это выражение больше не обращается в нуль. Согласно (2.8.33), мы теперь имеем
Для 
выражение (2.10.16) принимает вид
где было использовано определение фундаментального решения (2.10.7). В точках 
два фундаментальных решения линейно зависимы и, согласно (2.8.20),
Используя определение 
формулой (2.10.5) и снова полагая 
можно записать
Если определить
то уравнение Марченко будет иметь точно тот же вид, что и в случае отсутствия связанных состояний. Согласно (2.8.8) и (2.8.32),
это можно записать в виде
Наконец, интегральное уравнение имеет вид
где 
дастся выражением (3.2.6). Таким образом, мы получаем точно то же интегральное уравнение, которое было получено в отсутствие связанных состояний, за исключением того, что коэффициент отражения 
заменяется на 
Чтобы определить 
мы должны знать не только коэффициент отражения 
но также и число связанных состояний, точки 
определяющие их положение на комплексной плоскости, и нормировочные постоянные 
для каждой из волновых функций связанного состояния.
Аналогичная процедура в применении к 
дает
где
В качестве простого примера со связанным состоянием
рассмотрим притягивающий потенциал в виде дельта-функции.
Пример: притягивающий потенциал в виде 
-функции
Рассмотрим задачу рассеяния для приходящих слева волн. Коэффициент отражения 
В упр. 19 гл. 2 было найдено, что коэффициенты рассеяния для потенциала в виде 
-функции 
имеют вид 
Для притягивающего потенциала 
отрицательно и нуль с и лежит в верхней полуплоскости в точке 
Итак, коэффициент отражения равен 
Согласно (2.8.32), преобразование Фурье этого коэффициента отражения записывается в виде
Согласно (3.2.9), мы можем построить величину
где С ранее полученными значениями 
находим, что
где в 
единичная ступенчатая функция. Это совпадает с выражением (3.1.7), которое было получено для 
в случае отталкивающего потенциала в виде 
-функции. Уравнение Марченко решается, как и раньше, и для потенциала получается тот же результат, только теперь 
(см. скан)
