3.7. БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЗАХАРОВА — ШАБАТА
Для безотражательных потенциалов система уравнений Марченко, полученная в предыдущем разделе, может быть решена точно. Мы последуем методу, использованному для уравнения Шрёдингера в разд. 3.3. Рассмотрим решение системы 
при
Имеем
где 
Снова введем векторы
Полагая
находим, что интегральное уравнение можно свести к алгебраическим уравнениям, как в разд. 3.2. В результате имеем
где 
матрица
Исключая 
получим
где 
матрица, обратная матрице
Следуя использованной в разд. 3.3 процедуре, находим, что потенциал можно выразить в виде
Можно получить также формулу для 
Используем (3.6.17) а заметим, что
где использовалось соотношение (3.7.6) и инвариантность следа при циклической перестановке. Используя (3.3.16) и записывая
мы можем, наконец, использовать (3.6.17) и получить
Особенно простой результат можно получить из соотношений (3.6.16) и (3.6.17). Рассмотрим выражение
Снова применяя циклическую перестановку следа и тот факт, что 
получим
где было использовано соотношение (3.7.11). Беря мнимую часть этого результата, находим, что
Таким образом, окончательное выражение для 
имеет вид
Из (3.7.3) и (3.7.6) получаем
Следует отметить, что этот простой результат может быть получен только тогда, когда и действительно. Некоторые примеры использования этих выражений для построения многосолитонных решений будут рассмотрены в гл. 5.
