3.7. БЕЗОТРАЖАТЕЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЗАХАРОВА — ШАБАТА

Для безотражательных потенциалов система уравнений Марченко, полученная в предыдущем разделе, может быть решена точно. Мы последуем методу, использованному для уравнения Шрёдингера в разд. 3.3. Рассмотрим решение системы при

Имеем

где Снова введем векторы

Полагая

находим, что интегральное уравнение можно свести к алгебраическим уравнениям, как в разд. 3.2. В результате имеем

где матрица

Исключая получим

где матрица, обратная матрице

Следуя использованной в разд. 3.3 процедуре, находим, что потенциал можно выразить в виде

Можно получить также формулу для Используем (3.6.17) а заметим, что

где использовалось соотношение (3.7.6) и инвариантность следа при циклической перестановке. Используя (3.3.16) и записывая

мы можем, наконец, использовать (3.6.17) и получить

Особенно простой результат можно получить из соотношений (3.6.16) и (3.6.17). Рассмотрим выражение

Снова применяя циклическую перестановку следа и тот факт, что получим

где было использовано соотношение (3.7.11). Беря мнимую часть этого результата, находим, что

Таким образом, окончательное выражение для имеет вид

Из (3.7.3) и (3.7.6) получаем

Следует отметить, что этот простой результат может быть получен только тогда, когда и действительно. Некоторые примеры использования этих выражений для построения многосолитонных решений будут рассмотрены в гл. 5.