ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Каждый приступающий к изучению традиционного курса математической физики скоро убеждается, что ббльшую часть времени ему придется посвятить теории небольшого числа конкретных линейных дифференциальных уравнений в частных производных, среди которых особо важны всего три: волновое уравнение, уравнение теплопроводности и уравнение Лапласа. Первостепенная роль этих (и некоторых других) уравнений, сформулированных еще в прошлом веке, объясняется в основном их исключительной универсальностью — трудно найти раздел точного естествознания, в котором бы они не применялись.

Для последних двух десятилетий развития математической физики характерен важный прогресс. Оказалось, что список фундаментальных уравнений можно продолжить. В него следует включить несколько существенно нелинейных уравнений, по крайней мере три из которых — уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ), нелинейное уравнение Шрёдингера (НШ) и уравнение sine-Gordon, - возникая в самых разнообразных задачах физики, механики и отчасти чистой математики, по степени универсальности стали сравнимы с основными уравнениями математической физики.

Эти уравнения родственны между собой. Все они имеют специальные, специфически нелинейные частные решения — солитоны, локализованные в пространстве и во времени. Солитоны сталкиваются между собой, могут образовывать связанные состояния и вообще во многом ведут себя подобно классическим частицам. Упомянутые уравнения обладают также исключительным свойством «полной интегрируемости в том смысле, что для них существуют бесконечные наборы коммутирующих интегралов движения. Кроме того, существует процедура эффективного исследования этих уравнений, позволяющая, в частности, точно вычислять бесконечные серии их частных решений. Эта процедура основана на теории прямой и обратной задач рассеяния для некоторых обыкновенных дифференциальных операторов типа Штурма — Лиувилля; она получила название метода обратной задачи рассеяния.

Несомненно, что солитоны широко распространены в природе. Первым изученным примером солитонов были уединенные волны на поверхности жидкости, но постепенно выяснилось, что с помощью солитонов можно описывать самые разные физические объекты — от элементарных частиц до черных дыр и рукавов галактик. И во многих случаях математическая модель,

используемая для построения солитонных решений, оказывается системой уравнений, интегрируемой методом обратной задачи рассеяния.

Предлагаемая читателю книга Дж. Лэма-мл. «Введение в теорию солитонов» была опубликована в США в 1980 г. В том же году в СССР вышла монография В. Е. Захарова, С. В. Манакова, С. П. Новикова и Л. П. Питаевского «Теория солитонов» (М.: Наука). В этих двух книгах впервые дано последовательное изложение теории солитонов и метода обратной задачи рассеяния. Книга Лэма по сравнению с «Теорией солитонов» гораздо более элементарна, и для предварительного знакомства с предметом следует рекомендовать именно ее. В книге осуществлен подробный вывод уравнения КдФ для трех различных физических задач, вполне характеризующий его универсальность, с большой полнотой описаны солитонные и многосолнтонные решения КдФ. В книге содержится также достаточно полное описание солитонных решений уравнения sine-Gordon и «модифицированного» уравнения КдФ; решениям нелинейного уравнения Шрёдингера, однако, уделено меньшее внимание.

Большой интерес представляет седьмая глава, в которой, в частности, описано приложение метода обратной задачи рассеяния к теории лазера и к эффекту самоиндуцированной прозрачности (следует напомнить, что в этих областях работы Дж. Лэма были новаторскими).

К сожалению, целый ряд работ советских авторов, в том числе широко цитируемых на Западе, в настоящей книге совершенно не упоминается. Чтобы восполнить этот пробел, мы включили их в составленный нами дополнительный список, помещенный в конце книги.

В. Е. Захаров

ПРЕДИСЛОВИЕ

Назначение этой книги — служить элементарным введением в теорию солитонов, предмет, который позволил нам чудесным образом понять внутренний механизм некоторых нелинейных процессов. У читателя предполагается тот объем знаний, который обычно накапливается у старшекурсника или недавнего выпускника, специализирующегося в области физики или прикладной математики. Предполагается некоторое умение интегрировать в комплексной плоскости; предварительное знакомство с задачами на собственные значения, желательно в контексте квантовой теории, окажется полезным, но не существенным. Поскольку вопрос касается решения нелинейных уравнений в частных производных, предполагается, конечно, некоторое знакомство с линейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Приложения предполагают некоторое знание гидродинамики, электромагнетизма и квантовой теории двухуровневого атома.

Предмет, таким образом, излагается на элементарном уровне, и внимание концентрируется на исходных представлениях и вводных понятиях, игравших важную роль в создании предпосылок для некоторых направлений текущих исследований в этой области. В книге не затрагиваются сделанные в последнее время переформулировки задач, использующие современную дифференциальную геометрию и теорию групп, а также остроумные методы Р. Хироты и результаты по солитонам в решетках, первооткрывателем которых был М. Тода.

Способ подачи материала определяется скорее педагогическими, чем историческими соображениями, и для рассмотрения отобраны вопросы, которые, по мнению автора, выражают самым простым и непосредственным образом основные идеи этой области исследований. Используются такие аналитические формулировки задач, которые представляются естественными физику, воспитанному в традициях прикладных наук; обычно физики-прикладники считают более строгие методы чистой математики менее наглядными.

После вводной главы, где вкратце указана связь между нелинейным дифференциальным уравнением, решение которого ведет себя как солитон (уравнение Кортевега—де Фриза), и линейной задачей на собственные значения для уравнения Шрёдингера, в двух последующих главах дается элементарное изложение одномерной теории рассеяния и методов обратной задачи рассеяния. Затем в гл. 4 этими методами рассматривается уравнение Кортевега —

де Фриза. Глава 5 дает соответствующее введение в другие наиболее распространенные солитонные уравнения. В гл. 6 и 7 даны некоторые примеры появления солитонных уравнений в различных физических ситуациях. Глава 8 служит введением в преобразования Бэклунда, и, наконец, в гл. 9 рассматривается ставший недавно популярным вопрос теории возмущений солитонов.

Изложение материала здесь не требует вспомогательных сведений, так что ссылки на оригинальную литературу не обязательны. В книгу включен ряд ссылок на дополнительный материал, равно как и ссылки на работы, расширяющие или дополняющие данное изложение; эти ссылки не вызваны стремлением документировать приоритет или вершины в истории развития данного раздела науки. Читатель, интересующийся обширной библиографией, может обратиться к статье Скотта, Чу и Мак-Лафлина «Солитоны: новое понятие в прикладных науках», Proc. IEEE 63, 1443—1483, а также к книге «Солитоны» под редакцией Буллафа и Кодри (пер. с англ. — М.: Мир, 1983).

Некоторые аспекты развития теории солитонов можно проследить начиная от исследований математиков XIX века. Опыт автора показывает, что именно в теории солитонов обращение к исследованиям предшественников особенно вознаграждается. Так, это в полной мере относится к работам Форсайта (A. R. Forsyth). Некоторые аспекты теории солитонов представляются осуществлением идеи заключительного абзаца шестого тома «Теории дифференциальных уравнений» Форсайта, где он пишет: «Мое желание — постоянно демонстрировать те аспекты предмета, которые... обещают быть руководством на путях исследований, по которым пойдут ученые грядущих дней».

Я хотел бы выразить благодарность Ф. А. Оттеру за замечание, касающееся появления в теории дислокаций уравнения, известного теперь как уравнение sine-Gordon. Использованный в этой книге метод решения основан на преобразованиях Бэклунда. Перенос этих результатов на случай распространения когерентных оптических импульсов, где тоже используется уравнение sine-Gordon, привели меня к рассмотрению явления, известного теперь как со-литоны в когерентной оптике.

Я признателен А. Пирани за тщательное прочтение многих глав этой книги, а также М. Форесту и П. Шлейзеру, прочитавшим многие разделы; с их помощью были устранены некоторые ошибки и неясности, и сочинение стало менее несовершенным, чем оно было бы в противном случае.

Я признателен также У. Фергюссону-мл. за предоставление результатов численного решения уравнения Кортевега — де Фриза, приведенных в гл. 4, и М. Скалли и Ф. Хопфу за численные результаты, показанные на рис. 7.6. Я благодарен за помощь в использовании ЭВМ, которую оказали мне Л. Аппельбаум и Р. Диллон

при подготовке рисунков с профилями импульсов. Наконец, я благодарен моей жене Джоан за многие часы, ушедшие на печатание книги.

Я буду весьма признателен моим читателям, которые окажут мне любезность, прислав любые поправки и предложения по улучшению книги.

Дж. Л. Лэм-мл., Тусон, Аризона, июль 1980