1.3. МНОГОСОЛИТОННЫЕ РЕШЕНИЯ КАК ПОТЕНЦИАЛЫ БАРГМАНА

Приведенное выше выражение для солитона в роли потенциала для уравнения Шрёдингера называется потенциалом Эккарта [33]. Его можно получить методом Баргмана. Здесь мы просто опишем метод в общих чертах, а также используем его затем для получения двухсолитонных решений. Детальнее этот метод будет описан в гл. 3.

Линейный потенциал Баргмана — одиночный солитон

Исходным пунктом метода Баргмана является предположение, состоящее в том, что существуют потенциалы уравнения Шрёдингера

такие, что решение этого уравнения может быть записано в виде

где является полиномом от k. Если имеет нулевой порядок по и не зависит от х, мы просто получим очевидный выбор потенциала и Простейшим нетривиальным примерок является линейная форма

где числовые множители вводятся для удобства в дальнейшем. Подставляя это решение в уравнение Шрёдингера и приравнивая члены с одинаковыми степенями получим

Исключая и интегрируя, получим

где постоянная интегрирования. Подстановка

приводит к линейному уравнению

решение которого имеет вид

Согласно первому из равенств (1.3.4) и подстановке (1.3.6), имеем

Вместе с в виде это дает

Далее, поскольку результат должен быть решением уравнения Кортевега — де Фриза, постоянные интегрирования а следовательно, и являются функциями времени. Подстановка выражения (1.3.10) в уравнение Кортевега — де Фриза (1.2.9) показывает, что

и, следовательно,

Мы пренебрегли постоянной интегрирования, фиксирующей начало координат. Если положить то можно убедиться, что это выражение для и согласуется со стационарным решением, даваемым формулой (1.2.12). Таким образом, линейный случай метода Баргмана дает односолитонное решение уравнения Кортевега — де Фриза.

Квадратичный потенциал Баргмана — взаимодействие двух солитонов

Можно сделать следующий шаг, рассматривая квадратичный потенциал Баргмана. Мы покажем, что это обобщение даст нам желаемое асимптотическое выражение, описывающее взаимодействие двух солитонов. Мы начнем с предположения, что имеет вид

Подстановка этого выражения в уравнение Шрёдингера дает три условия: Детальное рассмотрение этих уравнений мы отложим до гл. 3, сейчас мы просто отметим, что, полагая, как и ранее, и распространяя на этот случай анализ, описанный выше для случая линейного потенциала, мы находим, что удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Решение его может быть записано в виде

где суть постоянные являются постоянными интегрирования, которые, если потребовать, чтобы потенциал удовлетворял также и уравнению Кортевега—де Фриза, снова будут функциями времени. В гл. 3 будет показано, что собственные значения зависят только от двух постоянных и, таким образом, не зависят от времени.

Решение, даяаемое формулой (1.3.14), удобнее выразить в виде

где Затем мы находим, что

Полагая

мы получим, что

где Тогда потенциал имеет вид

Чтобы это выражение было также и решением уравнения Кортевега—де Фриза, функции и должны соответствующим образом зависеть от времени. Непосредственная подстановка в уравнение Кортевега — де Фриза выражения для и в виде (1.3.19) была конечно, очень трудоемкой. Вместо этого заметим, что это выражение становится много проще для таких значений для которых либо либо Так как не зависят от х, их можно в этих пределах определить для всех х.

Для мы легко получим

где верхний (нижний) знак берется для больших и положительных (отрицательных) Этот результат можно переписать в виде

где

Верхний индекс был введен для того, чтобы подчеркнуть, что результат является просто выражением для единичного солитона (1.3.12), где параметр амплитуды — скорости. С другой стороны, для но аналогичное выражение дает

где верхний (нижний) знак берется для больших и положительных (отрицательных)

Теперь, подставляя (1.3.21) и (1.3.23) в уравнение Кортевега — де Фриза (1.2.9), можно легко получить зависимости от времени. Результаты оказываются теми же, что и в линейном случае, а именно

Таким образом, существуют такие значения для которых квадратичный потенциал Баргмана сводится к двум отдельным солитонным импульсам. Так как то импульс перемещается с большей скоростью, чем импульс При решение принимает вид двух разделенных импульсов, как показано на рис. 1.1. Мы получаем следующую картину: более быстрый импульс догоняет более медленный, взаимодействует с ним и появляется впереди него. Возможно, эти результаты станут понятнее, если рассмотреть теперь полное решение (1.3.19) для всех Полагая мы получим часто упоминаемый численный пример (Забуски, [118]; Гарднер и др., [42]). Тогда и двухсолитонное решение (1.3.19) может

быть преобразовано к обычно цитируемому выражению

При когда оба солитона полностью перекрываются, это выражение сводится к следующему:

Рис. 1.1. Два изолированных солитона до и после взаимодействия.

Раньше и позже, когда два солитона в достаточной степени отделены друг от друга, выражение (1.3.25) приводится к сумме двух выражений, даваемых формулами (1.3.21) и (1.3.23).

Рис. 1.2. Двухсолитоиное взаимодействие.

Нелинейное взаимодействие двух солитонов проявляется в том, что при когда они полностью перекрываются, амплитуда импульса равна 6, а это меньше амплитуды отдельного импульса при амплитуда которого равна . График двухсолитонного решения показан на рис. 1.2. Импульсы упруго проходят друг через друга, и

единственным следствием их взаимодействия является фазовый сдвиг на Этот сдвиг по фазе отчетливо проявляется при рассмотрении траектории каждого импульса на плоскости как показано на рис. 1.3.

Мы сейчас видели, что можно установить тесную связь между решениями уравнения Кортевега — де Фриза и зависящими от параметра потенциалами в уравнении Шрёдингера.

Рис. 1.3. Фазовый сдвиг пространственно-временных траекторий двух взаимодействующих солитонов.

Для нахождения солитонных решений уравнения Кортевега — де Фриза можно также использовать простой метод получения некоторого класса потенциалов (потенциалы Баргмана) и решений уравнения Шрёдингера. Прежде чем излагать далее этот и другие методы, покажем, как в простых физических ситуациях возникает уравнение Кортевега — де Фриза.