5.2. УРАВНЕНИЕ SINE-GORDON

Метод получения линейных уравнений, использованный в конце предыдущего раздела, дает простой способ построения таких уравнений для других часто встречающихся нелинейных эволюционных уравнений. В данном разделе мы применяем этот метод к так называемому уравнению sine-Gordon, которое может быть записано в виде

Это эволюционное уравнение, которое получается, если коэффициенты в (5.1.36) выбрать так, чтобы каждый из них содержал один-единственный член, пропорциональный Мы, таким образом, полагаем

Подставляя в уравнения (5.1.36) и собирая члены по степеням находим, что

Тогда и мы имеем

Умножая на соответственно и складывая, можно получить проинтегрированную форму которая допускает параметрическое представление Первое из уравнений тогда принимает вид Мы находим также, что Выбор приводит к уравнению sine-Gordon вида (5.2.1). Согласно (5.1.35), линейные уравнения записываются в виде

Конечно, пространственные производные от по-прежнему даются системой (5.1.1), где

Некоторые простые решения

Прежде чем использовать линейные уравнения для решения уравнения sine-Gordon методом обратной задачи рассеяния, рассмотрим сначала некоторые простые решения этого уравнения, известные в течение многих лет. Они окажутся также простейшими из решений, которые можно получить методом обратной задачи.

У уравнения а длинная история, начинающаяся в конце девятнадцатого столетия, когда было обнаружено, что это уравнение возникает в дифференциальной геометрии [34]. В то время были разработаны различные методы получения частных решений этого уравнения. Один из них, метод преобразований Бэклунда, будет описан в гл. 8. Другой подход к более простым решениям состоит в том, чтобы выразить их как функции независимых переменных в виде

Будем предполагать, что Поиск решения в виде функции, обратной тангенсу, представляется теперь совершенно естественным в виду результатов, полученных с помощью теории обратной задачи рассеяния, как, например, (3.7.16).

В системе координат уравнение sine-Gordon имеет вид

В форме (5.2.7) оно встречается в некоторых приложениях этого уравнения к вопросам нелинейного распространения волн, при этом играют роль пространства и времени соответственно.

При использовании тождества где мы находим, что предлагаемая форма решения (5.2.6) преобразует уравнение sine-Gordon в уравнение

где штрихи обозначают дифференцирование функций по их аргументам. Последующее дифференцирование этого результата по позволяет разделить переменные. Находим, что

где выбор формы записи постоянной разделения определяется из соображений удобства в будущем. Можно дважды проинтегрировать каждое из этих двух дифференциальных уравнений и получить где постоянные интегрирования. Подстановка этих уравнений в (5.2.8) приводит к требованию Полагая

мы получим окончательно

В общем случае решения будут выражаться через интегралы от корня квадратного из биквадратного выражения и, таким образом, будут содержать эллиптические функции. Исчерпывающий перечень этих решений был приведен Штойервальдом [104].

Задавая специальным образом входящие в (5.2.10) постоянные можно получить некоторые решения, выраженные в элементарных функциях. Эти решения встретятся снова, когда мы будем рассматривать многосолитонные решения с точки зрения обратной задачи рассеяния. Сейчас мы рассмотрим некоторые из этих специальных случаев.

1. . Система (5.2.10) дает где постоянные интегрирования. В этом примере решение уравнения sine-Gordon имеет форму «шельфа», и, согласно (5.2.6), дается формулой

Возможны все четыре комбинации знаков. Если мы выберем в качестве примера оба верхних знака, мы увидим, что о является решением, которое монотонно растет от до когда и меняется от до Шельф движется со скоростью в направлении отрицательных и. Это решение, так же как и решение с выбором знака, приводящим к выражению

является односолитонным решением уравнения sine-Gordon. Последняя формула описывает шельф, движущийся со скоростью в направлении положительных и. Импульсообразные решения могут быть получены как производные от этих решений. Мы находим, что

Часто именно эти выражения называются солитониыми решениями уравнения sine-Gordon. Два других выбора знака, которые дают решения, изменяющиеся от до 0, когда пробегает значения от до иногда называют антисолитонами.

Рассмотрим кратко решение в координатах использованных в (5.2.1). Достаточно рассмотреть случай т. е.

Тогда решение имеет вид и является шельфом, движущимся со скоростью в направлении отрицательных х. Вновь импульсные решения можно полунить из или Площадь импульса о равна . В некоторых приложениях уравнения sine-Gordon, которые будут обсуждаться в гл. 7, это решение (в котором координаты пространства и времени поменяются местами) будет называться -импульсом.

Хотя только что полученные выражения для о являются односолитонными решениями уравнения sine-Gordon, солитонная природа этих решений неочевидна, конечно, до тех пор, пока не исследовано взаимодействие двух таких импульсов. Это можно сделать, рассматривая следующий выбор постоянных.

2. . В результате интегрирования при решении (5.2.10) снова получаются элементарные функции. Находим, что где являются постоянными интегрирования, которые могут быть использованы для установления начала системы координат Тогда из (5.2.6) имеем

Результат не зависит от так как в выражение для о входит только отношение Рассмотрим случай верхнего знака в (5.2.12) и исследуем смысл этого решения, если означают пространство и время соответственно. Мы полагаем также Оказывается, что решение представляет собой столкновение двух солитонов. Находим, что в отдаленном прошлом, когда и где, как и

При переходе и через значение решение растет от до 0. Оно, таким образом, представляет собой шельф, движущийся в направлении положительных и. При находим, что что представляет собой шельф, в котором а растет от до когда и растет, переходя через значение Этот шельф движется в направлении отрицательных и. Два шельфа сталкиваются при Для получаем два уходящих возмущения: при при Так как а меняется от до при изменении и от до решение такого типа иногда называется -импульсом.

Рассмотрим теперь решение в пространстве Изучим снова (5.2.12) с положительным знаком и положим, как и ранее, При как и, так и стремятся к

стремится к Аналогично, при о стремится к Иногда удобно иметь решение, которое меняется от до при изменении и от до Такое решение легко построить, просто полагая и замечая, что а по-прежнему удовлетворяет уравнению sine-Gordon и к тому же меняется от до Если использовать тождество то выражение (5.2.12) даст

Легко сделать очевидной двухсолитонную природу этого результата. Аналитически этот аспект решения можно понять, полагая «начала Тогда получим

где Снова рассматривая пространственную производную, находим, что

При импульсы хорошо разделены, и можно провести рассуждения, подобные тем, которые были применены при получении (1.3.21). Теперь знаменатель упрощается, и для можно представить (5.2.15) в виде

где выбор знаков относится к Решение имеет вид двух импульсов со сдвигом фазы (который является следствием их взаимодействия при и качественно подобно двухсолитонному взаимодействию для уравнения Кортевега — де Фриза, показанному на рис. 1.2. Это оправдывает интерпретацию импульсов как солитонов.

3. . Здесь интересны три подслучая, и все они могут быть выражены через элементарные функции.

3а. Результат аналогичен приведенному в (5.2.12). Мы даходим, что

Рис. 5.3. (см. скан) Столкновение солитонного и аитисолитоиного решений уравнения sine-Gordon

Анализ, подобный проведенному в случае 2, показывает, что решение представляет собой столкновение солитона и антисолитона. График показан на рис. 5.3. Площадь под всем импульсом равна нулю для всех значений

(см. скан)

Зс. . Это другой импульс с нулевой площадью и, наверное, самый интересный. Из (5.2.17) можно сразу же получить аналитическое выражение, полагая Находим, что

Это так называемое бризерное решение уравнения sine-Gordon, и его нужно сравнивать с соответствующим решением модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, данным формулой (5.1.26).

Рис. 5.4. Бризерное решение уравнения

На рис. 5.4 приведен график бризерного решения уравнения sine-Gordon как функция и для Как функция это решение является периодическим.

Для бризер является решением с малой амплитудой. Тогда его можно аппроксимировать, записав (5.2.19) в виде

где мы положили и оставили только первый член в степенном разложении функции, обратной тангенсу. Теперь решение имеет вид

где ей) Подставляя это выражение для а в уравнение sine-Gordon вида находим, что удовлетворяет кубическому уравнению Шрёдингера

Мы пренебрегли членом поскольку по порядку величины он равен Этот результат аналогичен результату, полученному для модифицированного уравнения Кортевега—де Фриза (5.1.33).

Энергетические соображения

Поучительно подсчитать энергию, которая может быть связана с полученными здесь решениями. Это легко сделать, использул плотность гамильтониана для уравнения sine-Gordon. Тогда выражение для энергии может быть получено тем же способом, что и энергия, связанная с волнами на струне, определенная в разд. 2.1. Для уравнения sine-Gordon в виде (5.2.7) плотность лагранжиана может быть записана в виде Подстановка в уравнение где играют роль и соответственно, дает уравнение Плотность гамильтониана, равная принимает вид

Для односолитонного решения где находим, что при Та же энергия получается для антисолитона

Для решения с нулевой площадью, или солитон-антисолитонного решения (5.2.17), находим, что

где Вычисляя интеграл получим Этого и следовало ожидать, поскольку решение представляет собой упругое взаимодействие солитона и антисолитона, каждый из которых имеет энергию

Для бризерного решения (5.2.18) снова получим где теперь Таким образом, энергия меньше, чем энергия двух

свободных солитонов (или антисолитонов), и это приводит к интерпретации бризера как связанного состояния, составленного из пары солитон — антисолитон.

Решение методом обратной задачи рассеяния

Возвращаясь к линейным уравнениям (5.1.1) и (5.2.5), мы можем перейти к решению уравнения sine-Gordon методом обратной задачи рассеяния. Так как зависимая переменная о связана с величиной и в потенциале формулой видим, что само а больше не является локализованной величиной. Интеграл от локализованного решения приведет к в виде ступенчатой функции или шельфа, как указывалось при предыдущем анализе односолитонного решения. Таким образом, хотя а стремится к нулю при и система (5.2.5) принимает вид

но форма линейных уравнений (5.2.5) в пределе будет зависеть от значения а при Единственными случаями, легкими для рассмотрения, являются те, в которых при

Из системы (5.2.25) видно, что при функция может либо обращаться в нуль, либо стремиться к Аналогично, может либо обращаться в нуль, либо стремиться к Рассмотрим теперь детальнее решение, пропорциональное фундаментальному решению даваемому формулой (2.11.6). Тогда

Согласно (2.11.19а), при решение примет вид

Следовательно, в этом пределе Временная зависимость получается из вида линейных уравнений (5.2.5) в пределе Как указывалось выше, мы рассмотрим случай, когда при Тогда

Следуя процедуре, использованной для модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза и описываемой формулами (5.1.10),

получим

Вспоминая, что находим, что

Используя соотношения между получим

Теперь решения уравнения sine-Gordon получаются с помощью процедуры, которая использовалась в случае модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза. Как и прежде, легко получить только чисто солитонные решения. Так как и от, из (5.1.18) видно, что многосолитонные решения будут иметь вид

Снова элементы даются формулами (5.1.19), но только с зависимостью от времени

Простейший случай одного полюса на мнимой оси в точке дает и

Из (5.2.32) находим, что выражение для имеет вид

где Это то же решение, что и в случае одного солитона (5.2.11).

Двухсолитонное решение

Решение уравнения sine-Gordon, описывающее азаимоденствие двух солитонов, получается при рассмотрении случая двух полюсов на мнимой оси. Ситуация очень похожа на ту, которая была

описана в разд. 4.4 для уравнения Кортевега — де Фриза. Полагая находим, что принимает вид

Выражение для о (5.2.32) можно представить в виде, согласующемся с (5.2.14). Получим

где

Здесь рассмотрены специальные решения, которые развиваются в чисто многосолитонные решения. Простейший способ вычисления амплитуд других начальных профилей состоит в использовании законов сохранения, полученных из (2.11.57). Процедура аналогична той, которая была разработана в разд. 4.5 для уравнения Кортевега — де Фриза. Если начальный профиль импульса меняется гладко и нет импульсов нулевой площади (бризеров), то можно ожидать, что этот метод даст результаты с разумной точностью.

Автомодельное решение и «пи»-импульс

Очевидная инвариантность уравнения sine-Gordon при преобразовании означает существование автомодельной переменной ([7], с. 133). Это можно увидеть непосредственно, используя соответствующие дифференциальные выражения в уравнении Тогда мы получим обыкновенное Дифференциальное уравнение [8]

где штрих означает дифференцирование по Легко показать, что новая зависимая переменная до, связанная с а соотношением удовлетворяет уравнению

которое является частным случаем уравнения, определяющего третью трансцендентную функцию Пенлеве ([59], с. 345; [31],

с. 186). Так как эти функции в сколько-нибудь удобном виде не существуют, предпочтительнее прибегнуть к численному интегрированию уравнения (5.2.38). Пример такого решения показан на рис. 5.5, где также приведен результат для и диаграмма фазовой плоскости решения. Показанный на рисунке пример удовлетворяет условиям что дает решение, конечное при

Рис. 5.5. Автомодельное решение уравнения sine-Gordon: а — численное решение уравнения (5.2.38); производная решения, изображенного на рис. а; в — фазовый портрет решения. (С разрешения Американского института физики.)

Так как о растет от до при изменении от до мы видим, что решение не относится к классу решений, рассмотренных выше с помощью обратной задачи рассеяния. Когда ранее вычислялась зависимость решения от времени, предполагалось, что о стремится к величине, кратной Соответствующее вычисление для о, стремящегося к дает Коэффициенты отражения в этом случае имеют вид

В качестве примера рассмотрим коэффициент отражения, связанный с профилем «обрезанного» импульса данного в (2.11.61). При в верхней полуплоскости нет полюса, и мы получим

Вводя новую переменную интегрирования х с помощью соотношения и выбирая получим

Тогда в общем случае является функцией как х, так и так же как и Если мы теперь рассмотрим случай с так что площадь под кривой равна то будет функцией только автомодельной переменной Следовательно, можно ожидать, что автомодельное решение будет непосредственно связано с этим случаем. Этот пример будет снова рассмотрен в разд. 7.1.