3.4. КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ-РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ

Если коэффициент отражения, например является рациональной функцией к, то его преобразование Фурье снова будет суммой экспоненциальных членов и, таким образом, будет иметь вид, аналогичный тому, который был получен в предыдущем разделе для безотражательных потенциалов. Самый общий вид для таких коэффициентов отражения — это

где Для как потенциал будет содержать -функцию. Мы будем рассматривать только некоторые

характерные примеры. Более общее обсуждение задачи можно найти в [73].

Сначала рассмотрим случай, когда у функции нет полюсов в верхней полуплоскости. Тогда, согласно определению имеем при Если кроме того потребовать, чтобы и у функции не было полюсов в верхней полуплоскости, то для определения потенциала можно использовать уравнение Марченко (2.10.18), и мы видим, что при нет вклада от интеграла и при Таким образом, при

При нижним пределом в интеграле в уравнении Марченко является —у, а не В результате любая попытка построить решение уравнения Марченко подобно тому, как это было сделано в предыдущем разделе, была бы чрезвычайно трудоемкой. Однако еслн получается из посредством (2.8.16) и (2.8.38), мы находим, что есть сингулярности в обеих полуплоскостях. Таким образом, не обращается в нуль при Тогда верхним пределом интеграла в уравнении Марченко (2.10.17) остается и его можно решить относительно используя метод предыдущего раздела.

В качестве примера определим потенциал, дающий коэффициент отражения

где действительные положительные постоянные. Из (2.8.32) видно, что обращается в нуль при Таким образом, также равны нулю при Чтобы получить потенциал для вычислим Тогда из (2.8.38) получим

где означает, что интеграл берется в смысле главного значения. Интегрирование дает

Из (2.8.16) имеем

и для

где Постоянная то, таким образом, отрицательна. Полагая находим, что

уравнение Марченко (2.10.17) сводится к алгебраическому уравнению

Решая это уравнение относительно находим, что

где Тогда потенциал имеет вид

где единичная ступенчатая функция. Так как обе величины, V и положительны, сингулярность в выражении для уничтожается ступенчатой функцией. Волновая функция для этого потенциала может быть получена описанным в разд. 2.6 методом Дарбу с или же общим методом, описанным в работе [73]. Получим

что нужно сравнить с (2.6.15).

Если коэффициенты отражения и прохождения имеют полюсы в верхней полуплоскости, можно поступить, как в разд. 2.8, введя функцию без сингулярностей. Тогда вычисления аналогичны изложенным выше. В качестве примера рассмотрим коэффициент отражения

с действительным а. Для простоты выберем положение полюса в верхней полуплоскости также в точке Тогда, вводя находим, что

Интегрирование приводит к коэффициенту прохождения

Если получено из (2.8.16), обратное преобразование Фурье дает

Поскольку есть полюс в верхней полуплоскости, мы должны построить функцию и рассмотреть уравнение Марченко (2.10.17). Так как только один нуль в верхней

полуплоскости в точке функция дается выражением

Значение следует из Мы получаем

Так как , то

Тогда для соотношение (3.4.15) дает

Вводя мы находим уравнения Марченко (2.10.17), что Наконец, потенциал равен

Для это выражение представляет собой «обрезанный» потенциал, рассмотренный в разд. 2.9 для специального случая