7.12. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Распространение когерентного оптического импульса дает поучительный пример использования метода обратной задачи для системы Захарова — Шабата. Этот метод более удобен, когда мы удерживаем в (7.5.3) фазовый член, поскольку выражение для комплексного потенциала, необходимое при использовании однокомпонентного метода, становится тогда очень громоздким. Легко показать, что при наличии фазового члена уравнения Блоха (7.7.5) можно записать в безразмерном виде

где, как и раньше, и

Кроме того, уравнения Максвелла, которые ранее сводились к уравнению (7.10.17), теперь принимают вид

Как мы видели в гл. 5, обычное использование метода обратной задачи для системы Захарова — Шабата включает в себя рассмотрение задачи на собственные значения для системы из двух уравнений. При данном применении этого метода удобно поменять ролями координаты пространства и времени по сравнению с тем, как они использовались ранее. Таким образом, мы вводим две функции и удовлетворяющие уравнениям

где — профиль комплексного поля, приведенный в Теперь именно пространственные производные и могут быть выражены через линейные комбинации как это было сделано для производной по времени в разд. 5.4. Теперь нужно показать, что приравнивая вторые смешанные производные , а также требуя, чтобы удовлетворялись уравнения Максвелла — Блоха, мы приходим к уравнению т. е. к независимости собственного значения от пространственной координаты. Следует отметить, что хотя линейные уравнения (7.12.4) имеют тот же вид, что и уравнения (7.6.10), что является основой для применения в разд. 7.6 метода обратной задачи, интерпретация уравнений (7.12.4) совершенно иная. Служащее параметром в (7.12.4) собственное значение отличается от в (7.6.10). Хотя из физических соображений должно быть ясно, что не зависит от эту независимость нужно продемонстрировать для введенного здесь параметра Преимущество используемого в этом разделе метода состоит в том, что его по-прежнему можно использовать для решения уравнения sine-Gordon, появляющегося в пределе при . В этом пределе нельзя пользоваться предыдущим методом (так как хотя полученные в разд. 7.6 различные многосолитонные решения сводятся к соответствующим решениям уравнения sine-Gordon в пределе

Из уравнений Блоха линейные уравнения для с подходящими коэффициентами можно получить

непосредственно. Сначала к обеим частям уравнения (7.12.1а) прибавим член и запишем это уравнение в виде Теперь разделим это уравнение на и усредним полученное уравнение по неоднородному уширению. Малый мнимый член в знаменателе позволяет избежать подынтегральных выражений с сингулярными знаменателями. (Однако окончательный результат не зависит от этого ухищрения, и можно использовать также интеграл в смысле главного значения.) В конце концов мы получим

где

При выводе (7.12.5) использовано волновое уравнение (7.12.3). Результат (7.12.5) нужно сравнивать с Применение той же процедуры к двум последним уравнениям (7.12.1) приводит к уравнениям

где

Соотношения между выраженные формулами (7.12.5) и (7.12.7), имеют тот же вид, что и (5.1.36).

Перейдем к выводу уравнений, выражающих как линейные комбинации Умножая уравнения и (7.12.5) на соответственно и складывая, получим

С использованием обозначений

уравнение (7.12.9) принимает вид

где член был исключен с помощью первого из уравнений (7.12.4). Аналогичная комбинация (7.12.7а) и приводит к уравнению

Так как (7.12.11) и (7.12.12) имеют тот же вид, что и (7.12.4), решение должно быть пропорционально Мы можем записать

где функция подлежит определению. Используя (7.12.10), находим, что

Функцию можно определить выбором асимптотического вида функций Если связать с нижним атомным уровнем (состояние как в (7.6.9), то в случае аттеиуатора нужно решение, в котором при Такое решение — это решение данное формулой (2.11.6). Так как тогда при функции и обращаются в нуль, (7.12.4) дает

где было использовано введенное в (7.7.1) обозначение усреднения. Мы будем рассматривать только пространственно однородный случай, поэтому положим

Приравнивая теперь смешанные вторые производные функций находим, что Конечно, мы могли бы получить предыдущие результаты более обычным путем, исходя из (7.12.4) и (7.12.14) и показывая, что требования означают, что при условии, что удовлетворяются уравнения Максвелла — Блоха и коэффициенты удовлетворяют уравнениям (7.12.5) и (7.12.7), если эти функции заданы в виде (7.12.6) и (7.12.8) и ([43], [3]).

Если то функции сводятся к тем, которые были использованы в (7.6.9). Чтобы получить соответствующие начальные условия для поглощающей среды, определим

где определено в (3.9.7). Тогда находим, что условие нормировки принимает вид

Итак, инверсию заселенности и поляризацию можно записать в виде

Как и в разд. 7.10, мы получаем профиль поля из того уравнения Марченко, которое включает в себя интегрирование по предшествующей эволюции решения от до Приспосабливая результаты, полученные в разд. 3.9, к обозначениям данного раздела, мы имеем для

где

Эти результаты следуют из преобразования Фурье от Используя (3.9.10), имеем и

Из (39.3) огибающая комплексного поля дается соотношением

Теперь рассмотрим зависимость коэффицеинта отражения от пространственной координаты. Вместо того чтобы снова применить метод, использованный в разд. 7.10, мы будем следовать процедуре работ и [3] к рассмотрим линейные уравнения (7.12.14) в пределе Как указывалось выше, мы используем фундаментальное решение Таким образом, мы полагаем

Из (3.9.9а) получаем соотношение

предельная форма которого имеет вид

Это означает также, что

Теперь линейные уравнения (7.12.14) имеют вид

где дается выражением (7.12.15). В пределе это дает

Используя предельные формы

которые, так же как и условие нормировки следуют из (7.12.18), мы находим, что (7.12.6а) и (7.12.15) дают

Используя соотношения

для главного значения мы получаем также

и

Тогда линейные уравнения (7.12.26.) сводятся к дифференциальным уравнениям

решения которых имеют вид

Тогда коэффицеинт отражения может быть выражен в виде

Этот результат следует сравнить с (7.10.19) и (7.10.20).

(см. скан)

(см. скан)

Сохраняющиеся величины

В разд. 4.5 мы видели, что используя несколько первых сохраняющихся величин уравнения Кортевега — де Фриза, можно легко и точно вычислить амплитуды солитонов, получающихся из гладко меняющихся профилей начальных импульсов. До тех пор пока в окончательном результате не появляются решения типа бризера, используя заданные формулами и (3.9.28) величины для задач на собственные значения для двух уравнений, можно аналогичную процедуру применять к другим солитонным уравнениям. Появление сохраняющихся величин связано с зависимостью от времени коэффициента являющегося величиной, обратной коэффициенту прохождения в соответствующей задаче рассеяния. В данном примере (где координаты пространства и времени поменялись местами) коэффициент зависит от пространственной координаты (7.12.33). Мы увидим, что эта зависимость связана с энергией, которую теряет импульс при прохождении через среду.

Даже если коэффициент больше не постоянен, то, несколько обобщая на этот случай используемый ранее метод, можно по-прежнему получить информацию о конечных значениях амплитуд солитонов из величин

Приспосабливая (3.9.26) к обозначениям данного примера, имеем

Используя (3.9.27), получим

Дифференцируя по и используя уравнения Максвелла — Блоха (7.12.3) и получаем

где, поскольку мы рассматриваем поглощающую среду, мы приняли и под понимаем значение инверсии заселенности в точке после того, как импульс проходит через эту точку. В конце концов профиль импульса превращается в последовательность солитонов, которые для больших значений дают значение, равное —1. Это видно из точного значения приведенного в упр. 2. Если теперь проинтегрировать (7.12.38) по и использовать (7.12.36) для получим

Согласно результату упр.

где Пока не решена задача, этот последний член, т. е. инверсия заселенности на поверхности раздела, где импульс входит в среду, не известен. Однако если предположить, что импульс оказывает воздействие только на атомы, расстроенные на величину, обратную ширине начального импульса, и что эта

инверсия заселенности выражается функцией Гаусса, то можно записать

где то является мерой полуширины импульса и параметр, который будет определен впоследствии. Если мы предположим далее, что , то для больших мы имеем из (7.12.40)

и (7.12.39) принимает вид

Можно также проделать аналогичные вычисления с Для упрощения этих рассуждений исследуем случай, когда фаза не меняется по всему профилю поля. Из (3.9.28) при где и действительно, находим, что

Используя уравнения Максвелла — Блоха, можно показать, что

где был использован тот факт, что в конце концов решение и превращается в последовательность локализованных импульсов, так что и обращается в нуль при Кроме того, аналогичные, но более утомительные вычисления показывают, что

Таким образом, мы получаем

Если предположить, что профиль начального импульса имеет вид

и что конечный импульс состоит из нескольких -импульсов, то можно записать

где число -импульсов. Здесь скорость импульса и фазовый член импульса. Находим, что (7.12.43), (7.12.47) и (7.12.48) можно представить в виде

где

Для согласно теореме площадей, следует ожидать появления двух импульсов, и в (7.12.51) используются два первых уравнения при Как только получено у, можно определить амплитуды двухсолитонного решения. Чтобы вычислить у и тем самым введенный в (7.12.41) параметр мы заметим, что для один из корней двух уравнений должен быть равен

нулю. Этот результат будет гарантирован, если выбрать у так, чтобы при Численное решение показывает [97], что для этого нужно, чтобы у — 0.673. Так как у связано с заселенностью, остающейся инверсной на поверхности раздела, где импульс входит в среду, можно было бы ожидать, что оно зависит от интенсивности падающего импульса. Однако эта зависимость оказывается очень слабой. Чтобы убедиться в этом, мы используем одно и то же значение у в решении всех трех уравнений при и отметим то значение , при котором самый малый из трех корней обращается в нуль.

Рис. 7.6. Амплитуды импульсов, полученные из законов сохранения при учете переноса энергии в среду. Кружками показаны результаты численных решений, проведенных М. О. Скаллн и Ф. А. Хопфом.

Найдено, что это значение во равно а это очень близко к значению которое требуется по теореме площадей.

На рис. 7.6 показаны получившееся геометрическое место корней и точки, являющиеся результатом численного решения уравнений Максвелла — Блоха. Так как у — 0.673, значение горое нужно использовать при получении (7.12.42), равно приблизительно 0.6. Хотя можно считать, что это значение слишком велико для оправдания сделанной при получении (7.12.42) аппроксимации, однако согласие с численными результатами, приведенными на рис. 7.6, дает более значительный критерий справедливости этой процедуры.