1.2. УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

Если бы функция в уравнении (1.1.1) содержала параметр, например а, так что то можно было бы ожидать, что изменение формы потенциала при изменении параметра а приведет к некоторому соответствующему изменению собственных значений т. е. можно было бы ожидать зависимости от а. Естественно задать вопрос: существуют ли потенциальные функции для которых при изменении а остается постоянным? Сразу же напрашивается достаточно тривиальный пример — замена любой функции на просто переносит неоднородность потенциала или показателя преломления вдоль оси х, что изменяет положение запертой частицы или смещает звуковой канал и не влияет на энергию связанного состояния или частоту локализованной волны. Таким образом, это измененне а не влияет на собственные значения Для сравнения с последующими результатами следует отметить, что функции удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению в частных производных Мы покажем, что есть и другие, более интересные возможности, которые приводят к нелинейным уравнениям в частных производных. В частности будет показано, что функции удовлетворяющие дифференциальному уравнению

тоже оставляют собственные значения неизменными. Если считать параметр а временем (конечно, соответствующее уравнение Штурма — Лиувилля не является зависящим от времени уравнением Шрёдингера), то уравнение (1.2.1) является уравнением Кортевега — де Фриза.

Таким образом, нахождение решений уравнения Кортевега — де Фриза может быть связано с определением зависящих от параметра

потенциалов в уравнении Штурма — Лиувилля и наоборот. Упомянутая в разд. 1.1 задача рассеяния касалась определения волновой функции у при заданном потенциале В данном случае речь идет об определении потенциала по некоторой заданной информации о волновой функции (более детально это будет рассмотрено в гл. 4). Задача определения потенциала по информации о волновой функции называется обратной задачей рассеяния.

Используя метод Лакса [77], мы можем легко видеть, что уравнение Кортевега — де Фриза является одним из бесконечного числа уравнений, описывающих такое изменение потенциала уравнения Шрёдингера, при котором собственные значения остаются постоянными. Чтобы убедиться в этом, удобно записать уравнение Шредингера, или Штурма — Лиувилля, в виде

где Дифференцируя это уравнение по времени, получим

Так как то Нас интересует такая зависимость и и, следовательно, у от времени, при которой Рассмотрим случай, когда зависимость у от времени может быть выражена в виде где В — некоторый линейный дифференциальный оператор, подлежащий определению (не обязательно единственный). Конечно, пространственное изменение удается уравнением (1.2.2). Теперь уравнение (1.2.3) может быть записано в виде

где Мы замечаем, что X будет постоянным при условии, что В выбирается таким образом, чтобы оно удовлетворяло уравнению . В общем случае это операторное уравнение; однако, как мы сейчас увидим, некоторые ограничения на вид В могут привести к тому, что выражение для не будет содержать дифференциальных операторов, а будет только функцией и ее пространственных производных. В этом случае мы тем самым построили дифференциальное уравнение в частных производных для такое, что если оно удовлетворяется, то т. е. собственные значения остаются постоянными во времени.

В качестве первого примера дифференциального оператора В, который может приводить к постоянным собственным значениям, рассмотрим где сначала допускается, что а может быть функцией и ее пространственных производных. Затем по

определению

Если в этом последнем выражении коэффициенты при обращаются в нуль, т. е. если то и соотношение (1.2.4) принимает вид

Поэтому будет равно нулю и, таким образом, X не будет зависеть от времени при условии, что и удовлетворяет уравнению в частных производных Так как решением этого уравнения является любая функция от мы виднм, что любой потенциал вида будет оставлять не зависящим от времени. Этот в каком-то смысле неинтересный пример, в котором параметр просто переносит потенциал вдоль оси х со скоростью —а, уже упоминался косвенно в предыдущем рассмотрении.

Чтобы получить более интересный пример, можно было бы попытаться взять В в виде где являются в общем случае функциями и и ее пространственных производных и снова, как и в предыдущем примере, Однако простые вычисления показывают, что никакого обобщения предыдущего результата при этом не получаетоя: мы просто приходим к тому же самому дифференциальному уравнению в частных производных для и.

Если мы сделаем следующий шаг и рассмотрим мы найдем, что

Если теперь снова потребовать, чтобы коэффициенты при обращались в нуль, то получится новое дифференциальное уравнение в частных производных. Обращение в нуль этих коэффициентов дает простые дифференциальные соотношения, которые легко проинтегрировать. Мы находим, что где произвольные функции времени, появляющиеся в результате интегрирования. Тогда из (1.2.7) имеем

Снова из соотношения следует дифференциальное уравнение в частных производных для и. Чтобы упростить коэффициенты полученного уравнения, можно положить постоянную а равной —4. Функцию также можно положить равной нулю, так как простым преобразованием к новый независимым

переменным, задаваемым соотношениями ее можно исключить из окончательного уравнения для и. Таким образом, находим, что новое уравнение для и имеет вид

Если и определяется этим уравнением, то левая часть уравнения (1.2.4) обращается в нуль, и, следовательно, мы снова получим, что С точностью до множителя , который можно устранить, полагая это уравнение совпадает с нелинейным дифференциальным уравнением (1.2.1). Это одна стандартных форм уравнения Кортевега — де Фриза. Таким образом, если эволюция потенциала, входящего в уравнение Шрёдингера, определяется уравнением Кортевега — де Фриза, то собственное значение к остается постоянным.

Наконец, поскольку функции в операторе теперь известны, известна и зависимость решения у от времени. Она дается уравнением

Функцию мы также положили равной нулю, так как от нее можно избавиться, введя новую зависимую переменную

Следует отметить, что и изменение у в пространстве, описываемое уравнением

и его изменение во времени (уравнение 1.2.10)) выражаются с помощью линейных дифференциальных уравнений.

Как и следовало теперь Ожидать, можно построить [77, 42] бесконечную последовательность уравнений более высокого порядка, характеризуемых нечетными линейными операторами Однако в настоящее время в прикладных физических задачах эти эволюционные уравнения более высокого порядка, по-видимому, не возникают, и здесь они рассматриваться не будут. Вместо этого мы проанализируем два простых решения уравнения Кортевега — де Фриза (1.2.9).

Односолитонное решение уравнения Кортевега — де Фриза

Простейшим решением уравнения Кортевега — де Фриза является стационарное решение, которое можно получить, полагая Решение представляет собой возмущение, движущееся в положительном направлении оси с постоянной скоростью с.

В гл. 4 будет показано, что это решение уравнения Кортевега — де Фриза имеет вид

В этом решении проявляется общая черта нелинейных волн — связь между амплитудой и скоростью импульса. Импульсы с большей амплитудой движутся быстрее и, кроме того, они уже. Простое интегрирование показывает, что ширина и амплитуда импульса связаны соотношением

Решение (1.2.12), представляющее собой локализованное возмущение, симметричное относительно своей средней точки, является односолитонным решением уравнения Кортевега — де Фриза. Однако истинно солитонный характер этого возмущения еще не очевиден. Существенная черта солитона состоит в том, что приведенное выше аналитическое выражение сохраняется (за исключением смещения по фазе) и при взаимодействии двух или более таких импульсов. Чтобы убедиться в этом, мы должны рассмотреть решение, более сложное, чем приведенное выше стационарное решение. В последующих главах будут описаны способы получения многосолитонных решений, основанные на методе обратной задачи рассеяния. Чтобы дать предварительный обзор этих более общих результатов, мы получим здесь двухсолитониое решение с помощью простого метода, предшествующего более сложным методам обратной задачи рассеяния. Этот метод был предложен Баргманом [11) для радиального уравнения Шрёдингера, но в равной мере он применим и в данном случае, когда областью изменения независимой переменной является вся ось х. Метод делает очевидной тесную связь между потенциалами и многосолитонными решениями.