2.7. ДВУМЕРНЫЕ ВОЛНЫ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Решения, описывающие связанные состояния, могут совершенно естественно появляться и в классическом случае распространения двумерных или трехмерных волн в неоднородной среде. Они встречаются всякий раз, когда есть область среды, в которой в результате отражения может быть заключена волна. Это может иметь место в том случае, когда в среде есть слой, где достигается минимум фазовой скорости волны. Пример распространения звука под водой показан на рис. 2.2. Легче всего понять этот эффект на языке геометрической оптики. Для простоты предполагается, что звуковое поле порождается источником, расположенным на глубине, где скорость звука минимальна. Лучи, исходящие из источника под достаточно большим углом к горизонтали (как, например, луч А на рис. 2.2), будут попадать на а лучи, уходящие под достаточно малыми углами, на рис. 2.2, будут непрерывно изгибаться обратно в сторону глубины источника и, таким образом, будут распространяться по «звуковому каналу» в горизонтальном направлении.

Для двумерных волн с одной частотой волновое уравнение имеет вид

где звуковое давление. Это уравнение справедливо при условии, что фазовая скорость волны не слишком быстро меняется на расстоянии порядка длины волны ([17]; [15]). Удобно записать фазовую скорость в виде

где стремится к нулю при Затем стандартная процедура разделения переменных приводит к решениям уравнения (2.7.1) вида

Находим, что функция удовлетворяет уравнению Штурма-Лиувилля

где

Рис. 2.2. Звуковые лучи, захваченные неоднородностью в виде слоя.

Для это эквивалентно уравнению Шрёдингера с притягивающим потенциалом, поэтому в этой классической задаче могут иметь место рещения, отвечающие связанным состояниям, т. е. решения, локализованные в слое на глубине, соответствующей максимуму Это происходит при таких значениях А, для которых постоянная является собственным значением уравнения Штурма-Лиувилля (2.7.4). С физической точки зрения ясно, что такого образования каналов не может быть на глубине, где скорость звука достигает своего максимума (т. е. ).

Часто бывает полезно выразить решение дифференциального уравнения в частных производных в виде разложения по системе собственных функций. Для некоторых задач эта система собственных функций бывает полной, только если она содержит функции двух типов. Один тип можно рассматривать как решения рассеяния, распространяющиеся в бесконечность, а функции другого типа имеют смысл локализованных решений, или решений, описывающих связанные состояния. Так как приводимая здесь задача образования звукового канала предоставляет идеальную возможность для рассмотрения той роли, которую при разложении по собственным функциям играют решения, соответствующие связанным состояниям, мы сейчас займемся (возможно, несколько пространным) изложением конкретной задачи, на примере которой легко понять эту роль.

Рассмотрим детально задачу о двумерном линейном источнике с интенсивностью и частотой со, расположенном в бесконечной среде на глубине, соответствующей минимуму скорости. Анализ оказывается очень простым, если в формуле (2.7.2) дается выражением Записывая ко вместо получаем основное уравнение в виде

с граничным условием излучения, состоящим в том, что при и стремящихся к нет приходящих волн. Первый и наиболее очевидный подход к решению этой задачи состоит в том, чтобы ввести фурье-представление звукового поля, записывая

Выражая через интеграл также и находим, что преобразованная переменная удовлетворяет уравнению

Это неоднородное уравнение можно решить, интегрируя с переходом через сингулярность при как описано в общих чертах в упр. 4. Обозначая преобразованное звуковое давление в верхнем и нижнем полупространствах через и соответственно, получим

Для функция удовлетворяет однородному уравнению вида (2.6.14). Так как должно содержать только уходящие от источника волны, решения как видно из (2.6.15), суть

где Звуковое поле должно быть непрерывно при таким образом, и поэтому

Из (2.7.8) мы находим, что

Возвращаясь к (2.7.2), мы видим, что звуковое поле имеет вид

Таким образом, мы получаем интегральное фурье-представление для звукового поля. Решение является просто интегралом по полной системе функций

Вместо того чтобы выражать звуковое поле через интеграл от волновой функции по координате х, как в (2.7.11), решению можно придать другой вид, выразив его через интеграл от решений уравнения (2.6.14), т. е. от волновых функций для координаты В дополнение к интегралу от распространяющихся решений, мы найдем вклад, пропорциональный решению описывающему связанные состояния. Только тогда, когда мы включаем вклад от связанных состояний, мы имеем полную систему функций. Чтобы получить этот результат из приведенного выше решения, заменим (2.7.11) контурным интегралом. Для положительных значений х и 2 мы можем замкнуть контур в верхней полуплоскости комплексной плоскости если Из-за наличия члена вклад от дуги на бесконечности будет тогда экспоненциально стремиться к нулю. Так как подынтегральной выражение многозначно, и мы должны выбрать разрез таким образом, чтобы гарантировать всюду выполнение условия Соответствующий контур легко выбрать, если принять сначала, что является величиной с малой комплексной частью, так что [Это может быть либо результатом введения в среду малой диссипации, либо результатом предположения, что в задаче зависимость от времени включается постепенно (адиабатически) заменой на Полагая получим Возводя в квадрат и разделяя

действительную и мнимую части, получим

Так как мы требуем, чтобы мы определим сначала геометрическое место точек, для которых Из второго из уравнений (2.7.12) видно, что это геометрическое место точек является равнобочной гиперболой Из первого уравнения (2.7.12) мы видим, что на этой гиперболе будет равно нулю при

Рис. 2.3. Контур интегрирования для вычисления интеграла в (2.7.11).

Так как положительно, мы должны ограничить той частью гиперболы, где Таким образом, ветвь разреза в первом квадранте идет от до как показано на рис. 2.3. Функция будет, таким образом, действительна вдоль линии но разрывна при переходе через нее. Чтобы определить природу разрыва, заметим, что если мы движемся от к точке над либо увеличивая а при постоянном либо увеличивая при постоянном о, то правая часть в (2.7.12) становится отрицательной. Левая часть также должна быть отрицательной, и так как мы видим, что должно быть отрицательным над Аналогично, под

Подынтегральное выражение содержит также полюсы при Снова заменяя через ко можно передвинуть полюсы в первый и третий квадранты. На рис. 2.3 показан контур для вычисления интеграла в Поэтому представление

Фурье звукового поля может быть переписано в виде (вычет полюса при

Вклад от полюса равен а интеграл вокруг разреза — это интеграл, где меняется от до вдоль верхней стороны разреза плюс интеграл от до вдоль нижней стороны разреза. Преобразовывая интеграл в интеграл до посредством замены мы получим окончательно

где

Как указывалось выше, сами по себе функции с действительным не составляют полной системы функций. Мы видели, что нужно включить и вклад от связанного состояния sech . Заметим, что это можно сделать вычислением функции при

(см. скан)