Глава 8. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БЭКЛУНДА

В гл. 2 мы видели, что решение уравнения Шрёдингера для потенциала можно выразить через элементарные функции, если где положительное целое число. Эти специальные значения соответствуют безотражательным потенциалам и дают также начальные профили импульсов, развивающихся в чисто многосолитонные решения уравнения Кортевега — де Фриза. Начиная с так что можно построить эти специальные потенциалы и решения соответствующих уравнений Шрёдингера с помощью простого метода, разработанного в гл. 2.

Представляется естественным вопрос, существует ли простая теория преобразований, связывающих эти решения в более поздние моменты времени их эволюции. Мы сейчас изложим такую теорию преобразований не только для уравнения Кортевега — де Фриза, но и для некоторых других наиболее известных солитонных уравнений. Для уравнения sine-Gordon, которое давно возникло в дифференциальной геометрии ([34], с. 284), уравнения соответствующих преобразований были получены А. В. Бэклундом, и преобразования того типа, с которыми мы будем встречаться стали известны как преобразования Бэклунда. Обзор литературы в этой области, относящийся к более раннему периоду, был дан в статье Гурса [46] и воспроизведен Миурой ([86], с. 77). Надежда на то, что другие солитонные уравнения также будут иметь преобразования Бэклунда, была реализована только недавно, после того как Уолквист и Эстабрук [116] получили преобразование Бэклунда для уравнения Кортевега — де Фриза.

Один из наиболее интересных результатов этой теории преобразований состоит в том, что она приводит к простой формуле суперпозиции — теореме перестановочности, посредством которой из односолитонных решений можно простыми алгебраическими приемами построить многосолитонные решения.

8.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЭКЛУНДА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА

В разд. 2.6 мы рассмотрели соотношение между потенциалами в двух уравнениях Шрёдингера, которые были связаны таким образом, что решение одного уравнения являлось линейной комбинацией решения другого уравнения и первой производной этого решения Возникшие в результате потенциалы были начальными

условиями для чисто многосолитонных решений. Распространим теперь эти соображения на случай потенциалов, зависящих от параметра, причем потребуем, чтобы собственное значение от этого параметра не зависело [115]. Из наших предыдущих рассуждений мы знаем, что связь между двумя такими потенциалами означает соответствующую связь между двумя решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Мы найдем, что эта связь является связью специального вида; она известна как преобразование Бэклунда.

Рассмотрим два уравнения Штурма — Лиувилля

где связаны соотношением

Если функции могут, конечно, быть двумя решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Так как в этих уравнениях является просто параметром, мы можем следовать в точности той же процедуре, которая была использована в разд. 2.6. Замечая, что теперь интегрирование вводит произвольную функцию времени, мы находим, что должно удовлетворять уравнениям

которые соответствуют уравнениям (2.6.5) и (2.6.6). Если снова ввести линеаризующее преобразование мы найдем, что у удовлетворяет уравнению (8.1.1), где А, заменено на Так как мы налагаем ограничение, состоящее в том, что собственное значение не должно зависеть от времени, мы видим, что должно быть постоянным.

Если теперь ввести потенциальные функции с помощью определений то (8.1.4) можно записать в виде

В конечном счете нас интересуют пространственные производные дающие Следовательно, можно в уравнении (8.1.6) отбросить произвольную функцию времени. Вводя обозначение находим, что уравнение (8.1.5) может быть записано в виде

где конечно, Таким образом, мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка

(уравнение Риккати), связывающее две функции, которые тесно связаны с решениями уравнения Кортевега — де Фриза. Если предположить, что удовлетворяет уравнению Кортевега — де Фриза вида то удовлетворяет уравнению

аналогично для

Уравнение (8.1.7) дает связь между пространственными производными Чтобы получить выражение, связывающее их производные по времени, можно сначала продифференцировать (8.1.7) по времени, а затем проинтегрировать по

Используя (8.1.8) и вводя обозначения можно записать

С помощью (8.1.7) и интегрирования по частям получим

Окончательный результат (8.1.11) вместе с (8.1.7) составляет преобразование Бэклунда для уравнения Кортевега — де Фриза. Если известно решение уравнения третьего порядка (8.1.8), то другое решение можно получить, решая уравнения преобразования Бэклунда, т. е. уравнение первого порядка (8.1.7) и уравнение второго порядка (8.1.11).

В качестве простого примера использования теории этого преобразования можно начать с подстановки тривиального решения

где при получении последнего выражения в мы использовали связь из (8.1.12а). После интегрирования (8.1.12а) и определения произвольной функции времени по имеем в (8.1.7). Находим, что удовлетворяет уравнениям

где Видно, что функция является единичным солитоном уравнения Кортевега — де Фриза. Решение в качестве односолитонного не интересно, поскольку при оно расходится, но позже оно окажется полезным.

Полученное решение (8.1.13а) могло бы теперь играть роль решения в (8.1.7), а для могло бы быть получено другое решение. Эта процедура повлекла бы за собой интегрирование более сложного дифференциального уравнения, чем уравнение (8.1.12а). К счастью, более сложные решения можно построить намного проще. Их можно получить с помощью простой формулы суперпозиции, вообще не требующей дополнительного интегрирования. Чтобы получить такую формулу, которая известна для уравнения sine-Gordon как теорема перестановочности ([34], с. 286), мы рассмотрим сначала два решения получающиеся из (8.1.7), если исходить из решения с двумя различными значениями Тогда мы имеем

Если снова использовать уравнение (8.1.7), но с вместо вместо и обозначить новое решение через получим

Аналогично можно использовать вместо вместо чтобы получить решение, которое мы обозначим через Тогда имеем

Как мы увидим ниже, можно положить Таким образом, если вычесть из (8.1.14а), а также из (8.1.15а), мы получим два различных выражения для Приравнивая два выражения для этой разности и полагая мы придем к чисто алгебраическому соотношению

Если мы начнем с решения этот результат сразу же приводит к двухсолитонной формуле для уравнения Кортевега — де Фриза. Более конкретно, предположим, что и затем используем вместо величину из а вместо используем (8.1.13а). Такой выбор решений исключает появление нуля в знаменателе формулы суперпозиции (8.1.16). В частности, выбор постоянных дает

Пространственная производная этого решения является двухсолитонной формулой (1.3.25). Этот метод будет также использован в разд. 8.2 для порождения многосолитонных решений уравнения sine-Gordon.

Справедливость теоремы перестановочности

Любое доказательство теоремы перестановочности основано на равенстве Это равенство легко устанавливается, если интерпретировать решения как представительные решения задач рассеяния. Если мы можем показать равенство некоторых данных рассеяния, то на основе теории обратной задачи рассеяния можно подтвердить, что в этом случае равны и сами рассеивающие потенциалы [38].

Предположим, что решение уравнения (8.1.1), пронормировано так, как в (2.2.1), т. е.

где .

Для локализованных потенциалов при уравнение (8.1.5) принимает вид Записывая имеем решение для А в виде Таким образом,

Можно получить аналогичным образом пронормированное решение для соответствующего решению уравнения (8.1.2), записывая где К должно быть выбрано так, чтобы снова получить падающую волну единичной амплитуды. Из (8.1.3) имеем соотношение

которое показывает, что для получения падающей волны единичной амплитуды нужно выбрать К в виде Тогда при

Очевидно, что последующее преобразование решения в новое решение даст коэффициент прохождения

Так как алгебраические множители коммутируют, тот же результат получился бы, если бы при получении члены были взяты в обратном порядке. Нули двух коэффициентов прохождения также расположены в одних и тех же точках плоскости (с теми же вычетами), и, следовательно, можно сделать вывод, что рассеивающие потенциалы и которые можно построить по этим данным рассеяния, также равны.