7.8. НЕПОДВИЖНЫЕ АТОМЫ - ПРЕДЕЛ SINE-CORDON

Исключаем трансляционное движение атомов, вводя -функцию Дирака и записывая Из видно, что если положить равной нулю, она останется нулем. Вводя новую зависимую переменную

с размерностью частоты, находим, что определяющие уравнения имеют вид

где

и функции и вычисляются при нулевом сдвиге частоты. Два последних уравнения в (7.8.2) имеют первый интеграл так что можно записать

а также

Записывая , так что обращается в нуль, мы видим, что . Этот предел относится к состоянию системы до прихода импульса. Верхний знак соответствует что относится к случаю изначальной инверсной заселенности энергетических уровней. Тогда на проходящую через среду световую волну среда действует как усилитель. Нижний знак берется, когда атомы среды находятся на нижнем уровне. Как мы увидим ниже, только в этом последнем случае возможно распространение устойчивого солитона.

Вводя преобразование координат

означающее, что

находим, что первое из уравнений (7.8.2) принимает вид уравнения sine-Gordon

где нижний знак относится к усилителю, а верхний — к аттенуатору, если Как мы увидим ниже, полученные в гл. 5 многосолитонные решения уравнения sine-Gordon в данном контексте имеют простой физический смысл.

Рассмотрим сначала устойчивость односолитонного решения где верхний (нижний) знак берется при верхнем (нижнем) знаке в уравнении sine-Gordon (7.8.8). Выраженное через безразмерную переменную электрического поля

это последнее уравнение можег быть записано в виде

Вблизи заднего фронта импульса (т. е. при ) о принимает вид что можно рассматривать как площадь под профилем импульса. Для односолитонного решения этот интеграл равен Поэтому односолитониое решение часто называют -импульсом. Если площадь под импульсом несколько больше так. что то

Для верхнего знака, соответствующего усилителю, что приводит к дальнейшему увеличению площади, в то время как для аттеиуатора (нижний знак) и о уменьшается до Аналогично, при площадь растет до для аттенуатора и уходит от для усилителя. Следовательно, площадь -им-пульса устойчива только в аттенуаторе, так что только в этом случае можно ожидать появления солитона. Дальнейшее понимание устойчивости площади можно получить, рассматривая движущиеся атомы, что будет сделано в следующем разделе.

Наличие солитонных явлений при взаимодействии когерентной световой волны с двухуровневыми атомами понять легко. Если первоначально атомы "Находятся в нижнем атомном состоянии, передний фронт светового импульса приводит к инверсии заселенности и, таким образом, ослабляется, в то время как задний фронт возвращает атомы в первоначальное состояние с помощью стимулированного излучения. Этот процесс может реализоваться только в том случае, если обе инверсии происходят до того, как атом сможет испытать столкновение, приводящее к потере фазовой когерентности атомных волновых функций и падающей световой волны. Импульс должен также быть достаточно интенсивным для инверсии заселенности, иначе он просто ослабляется таким образом, как можно было бы ожидать для распространения слабого сигнала в аттенуаторе. Если условия процесса выполнены, то оказывается, что (как показано в конце разд. 7.10) устанавливается стационарный профиль импульса и что огибающая этого импульса распространяется затем без затухания со скоростью, на несколько порядков меньшей фазовой скорости света в среде.

Профиль стационарного электрического поля, воздействующего на эту инверсию, является профилем односолнтонного решения уравнения sine-Gordon для аттенуатора, а именно Профиль поля имеет вид

где

Если площадь импульса много больше инверсия заселенности может происходить повторно. Каждая область импульса, встречающаяся со средой, находящейся в основном состоянии, будет ослабляться, а каждая область импульса, взаимодействующая с инверсно заселенной средой, будет усиливаться. Можно ожидать, что по мере того, как этот процесс попеременного усиления и затухания будет продолжаться, импульс расщепится. Распад на два солитона приводит к профилям поля, подобным профилям на рис. 1.2. Аналитическое выражение для этого решения получается из двухсолитонного решения (5.2.37).

В данной задаче играют роль и осцилляторные решения типа тех, которые представлены на рис. 5.2. Импульсы с отрицательными значениями допустимы, так как отрицательные значения можно интерпретировать как изменение на фазы несущей волны импульса. Эта интерпретация согласуется с уравнением (7.7.ЗЬ), которое показывает, что если стремится к нулю, то можно ожидать, что фаза меняется достаточно быстро. Полная площадь под осцилляторными импульсами, подобными тем, что

даются формулой (5.2.19), равна и они могут, таким образом, считаться импульсами с нулевой площадью.

Наконец, упомянем усилитель. Как указывалось выше, в этом случае солитон неустойчив. Некоторые важные черты усиления когерентных оптических импульсов описываются решениями совершенно иного типа. Соответствующим решением является автомодельное решение, описанное в разд. 5.2. Профиль импульса показан на рис. 5.5,б. Из рис. 5.5, а и в, видно, что и решение часто называется -импульсом. Это решение будет снова рассмотрено в разд. 7.11.